دانلود مقاله الگوریتمی جدید برای ایجاد بردار های ریتز

در این فصل رفتار بردارهای ریتز وابسته به بار ، با وجود دقت محدود اعمال ریاضی در کامپیوترها بررسی می گرد.

نشان داده خواهد شد که اگر الگوریتم به گونه ای مستقیم به کار گرفته شود، آنگونه که در قسمت اول این بخش عنوان شده است، رفتار واقعی این روش می تواند کاملاً متفاوت با رفتار تئوری باشد ،زیرا بردارهای حاصله مستقل خطی نخواهند بود.

سپس الگوریتمی جدید برای ایجاد بردارهای ریتز وابسته به بار ارائه می گردد.

نشان داده خواهد شد الگوریتم اصلاح شده بردارهای ریتز (LWYD) بسیار پایدارتر از الگوریتم اصلی عنوان شده می باشد.در پایان نیز مثالی عددی ارائه می گردد.

1-6- استقلال خطی بردارهای ریتز وابسته به بار نشان داده شد الگوریتم ایجاد بردار های ریتز وابسته به بار شبیه به روند تولید بردارهای Lanczos است.

بنابراین روش بردارهای ریتز نیز مستعد همان مشکل روش Lanczos یعنی از دست دادن تعامد می باشد که در کاربردهای اولیه Lanczos در کامپیوتر مشهود بود.

اگر به صورت ویژه نگاه کنیم بیشتر نگران کاربرد کامپیوتری با استفاده از ریاضیات با دقت محدود برای گامهای 4.b و 4.c (شکل 1-3)که مربوط به روند متعامدسازی Gram-Schmidt می باشد، هستیم که برای بدست آوردن پایه مستقل خطی در محدوده زیر فضای تعریف شده توسط بردارهای ریتز وابسته به بار به کار می رود.

به پایداری عددی روند Gram-Schmidt برای بدست آوردن مقادیر ویژه در سیستمهای ماتریسی بزرگ توجه زیادی شده است و مطالب زیادی می توان آموخت.

1-1-6- روش Lanczos و از دست دادن تعامد مساله تعامد در روش Lanczos همواره جای سؤال بوده است در عمل ثابت شده است که اگر هر بردار را تنها نسبت به دو بردار قبلی متعامد کنیم در مجموع به تعامد نخواهیم رسید.

این امر باعث می شود که (1-6) و (2-6) در این شرایط حتی اگر r=n باشد تناظر یک به یک میان مقادیر ویژه محاسبه شده [Tr] و مقادیر ویژه وجود ندارند و الگوریتم تکراری در r=n پایان نمی یابد.

Paige نشان داد که از دست رفتن تعامد در درجه اول به علت همگرایی مقادیر ویژه [Tr] به مقادیر ویژه می‌باشد و تنها به علت خطاهای متوقف سازی نیست.

همینطور او نشان داد که هر چند تعامد کلی از دست می رود اما تعامد محلی تا هنگامی که عناصر خارج از قطر، bi از [Tr] بسیار کوچک نیستند، وجود خواهد داشت.

مشکلی که در عمل به وجود می‌آید آن است که هنگامی که یک بردار ویژه بدست می‌آید (البته به طور صحیح) خطاهای ناشی از گردکردن با ضرب تکراری ماتریس جرم برای تولید کپی همان بردار ویژه به سرعت افزایش می یابند.

اگر اصرار داشته باشیم که هر مقدار ویژه [Tr] باید یک مقدار ویژه را تقریب بزنند تعامد تقریباَ عمومی امری بنیادین می‌باشد.

که این امر بدون باز- متعامدسازی با توجه به بردارهای ویژه همگرا شده امکان پذیر نمی‌باشد.

مزیت انجام باز تعامد با توجه به بردارهای قبلی آنست که از تولید چندین کپی از بردارهای ویژه خودداری می گردد ضمن آنکه ایجاد بردارهای ویژه از چندین مقدار ویژه در معرض خطر قرار نمی گیرد.

2-1-6- بردارهای ریتز وابسته به بار و مساله از دست دادن تعامد حتی اگر منظور، بدست آوردن حل صحیحی از مساله مقدار ویژه توسط بردارهای ریتز وابسته به بار نباشد تعامد پایه ریتز برای موفقیت روش امری اساسی می باشد.

به علاوه اگر سیستم کاهش یافته قطری شود، همانگونه که در تحلیل طیف پاسخ لازم است، مهم است که مقادیر ویژه تقریبی متناظر با فرکانس پایین نزدیک مقادیر ویژه دقیق سیستم اصلی باشند.

در استفاده عملی در تحلیل با استفاده از برهم نهی برداری، این مطلب به احتمال زیاد تمام آن چیزی است که مورد نیاز است.

مزیت دیگر تعامد کلی پایه بردارهای ریتز وابسته به بار آنست که می توان ماتریس جرم کاهش یافته را مستقیماً برابر واحد فرض کرد بدون آنکه تبدیل برای بدست آوردن لازم باشد.

ارتونرمال بودن نسبت به جرم نیز همانطور که نشان داده شد برای ایجاد معیار خطا به منظور توقف عملیات تولید بردار لازم است.

(با توجه به همگرایی مورد نیاز) از آنجایی که هدف بردارهای ریتز وابسته به بار بدست آوردن یک حل ویژه صحیح نمی باشد و تشکیل یک پایه برداری درست وابسته به بار می باشد یک استراتژی باز متعامدسازی که از دست دادن تعامد بردارها را هنگامی که ایجاد می شوند نمایان سازد، مناسب ترین روش برای بدست آوردن تعامد کلی پایه برداری می باشد.

3-1-6- باز متعامد سازی انتخابی برای نگاه داشتن تعامد در بردارهای Lanczos ،گرگوری از اعمال کامپیوتری با دقت بالاتر استفاده نمود اما بهبودهای مرزی را مشاهده نمود سپس (اجالو و نیومن، چرخه باز متعامدسازی را پیدا کردند که می‌توانست بردارهای سعی را تا حدی که برای سیستمهای بزرگ لازم بود متعامد سازد که در اینجا اصلاح شده آن را برای بردارهای ریتز وابسته به بار می بینیم.

1) بردار بعد از اولین متعامدسازی از الگوریتم تکراری شکل 1-3 بدست می آید.

و کنترل می گردد که معیار تعامد معادله 7-6 را برآورده سازد.

اگر این معیار برآورده شود الگوریتم به گام 5 می رود در غیر این صورت الگوریتم به گامهای 2 تا 4 می‌رود.

2) بردار باز متعامدسازی نسبت به تمامی بردارهای قبلی می گردد.

(6-6) 3) این کار آنقدر انجام می شود تا بردار قابل قبول معیار تعامد را برآورده سازد.

(7-6) که TOL تابعی از تعداد ارقام با معنی کامپیوتر می باشد.

فرم ماتریسی کنترل انجام شده توسط معادله (4.7) به صورت بردار زیر می باشد.

(8-6) که ماتریسی از مرتبه می باشد.

معیار تعامد با اطمینان از آنکه نرم بی‌نهایت ( بردار کوچکتر از پارامتر TOL می باشد تأیید می گردد.

برای کارایی عددی بیشتر مؤلفه‌های بردار را می توان ذخیره نمود.

زیرا آنها متناظر با ضرایبی هستند که برای روش Gram-Schmidt ، اگر چرخه متعامدسازی دیگری برای تشکیل بردار لازم باشد، مورد نیاز می باشد.

4( اگر برای تعدادی از بردارها معیار بالا ارضا نشد، بعد از تکرار مشخص، NOG، اخطاری داده می شود که مقدار حداکثر ضریب تعامد را عنوان می کند.

(9-6) سپس کاربر دو گزینه دارد: (a می توان فرض کرد که بردار جدید ریتز وابسته به بار با توجه به تکرار حداکثر و تلرانس مشخص شده قابل ایجاد نمی باشد و مساله کاهش یافته با مرتبه i-1 حل می‌گردد.

(b محاسبات با کاهش صحت ادامه یابد.

(5 اگر معیار تعامد برآورده گردد، بردار حاصله نسبت به جرم نرمال می باشد و محاسبات برای ایجاد بردار بعدی ادامه می یابد.

(10-6) باید توجه نمود اگر هیچ‌گونه تکراری انجام نشود (برای بهینه‌سازی تعامد) الگوریتم دقیقاً متناظر نمونه اصلی (شکل 1-3) می باشد.

4-1-6- کاربرد کامپیوتری متعامدسازی انتخابی تجربیات عددی برای بررسی کارآیی روشهای متعامدسازی و تایید کارآیی نسبی روشهای مختلف بر روی سیستمهای سازه ای ترتیب داده شدند، و انواع مختلف زیر بررسی شده اند.

1) الگوریتم متعامدسازی اولیه Gram-Schmidt با دقت ساده و مضاعف.

2) متعامدسازی گرام – اشمیت اصلاح شده با دقت ساده 3) ریاضیات بادقت بالای جزئی که تمامی مجموع حاصل ضربهای داخلی بادقت مضاعف انجام شده‌اند.

در گرام اشمیت اصلاح شده در محاسبه Cj بردار سعی بهینه شده استفاده می گردد.

For j=1 To i-1 (11-6) Next j تعداد عملیات مورد نیازدر جدول 1-6 آمده است.

جدول 1-6 تعداد عملیات لازم برای روندهای متعامدسازی n: درجه ماتریس جرم کاهش نیافته [M] r: تعداد بردارهای ریتزی که باید حساب شوند.

ماتریس جرم کامل ماتریس جرم متمرکز شده N[r2+n(r-1)] n(r2+r-1) G.S معمولی Nr2[1+n/2] n(3/2+r2) G.S اصلاح شده اگر یک بهینه سازی تک مرحله ای اجازه داده شود این تعداد 1.5 برابر می گردد.

2-6- تنوع محاسباتی الگوریتم بردارهای ریتز وابسته به بار 1-2-6- بردارهای ریتز LWYD (وابسته به بار اصلاح شده) الگوریتم جدیدی برای ایجاد بردارهای ریتز وابسته به بار مورد بررسی قرار گرفت تا یک شمای تولید بردار پایدارتری ایجاد گردد.

که در شکل 1-6 آنرا مشاهده می کنید، ابتدا بردار اولیه ، که متناظر با تغییر شکل استاتیکی سازه تحت اثر توزیع مکانی بارهای دینامیکی می باشد، ایجاد می شود.

همانگونه که بردارهای جدید محاسبه می گردند این بردار (استاتیکی) با استفاده از روش متعامدسازی Gram-Schmidt به روز می شود تا مؤلفه‌های مشترک پایه از بین بروند.

سپس این بردار استاتیکی به روز شده برای رابطه تکراری معمول به منظور ایجاد بردار های اضافی به کار می رود.

ترجمه فیزیکی این مطلب بدین شکل است که ابتدا حل اولیه از تحلیل استاتیکی بدست می آید سپس این پاسخ استاتیکی با حذف مؤلفه‌های مشارکت کننده دینامیکی اصلاح می شود و این به عنوان مکانیزمی برای محاسبه بردارهای جدید به کار می رود.

نیز این مطلب به امکان در دست گرفتن کنترل بهتری از روش تصحیح استاتیکی هم کمک می کند.

الگوریتم جدیدی برای ایجاد بردارهای ریتز وابسته به بار مورد بررسی قرار گرفت تا یک شمای تولید بردار پایدارتری ایجاد گردد.

سپس این بردار استاتیکی به روز شده برای رابطه تکراری معمول به منظور ایجاد بردارهای اضافی به کار می رود.

شکل 1-6- الگوریتم بردارهای ریتز وابسته به بار اصلاح شده 1) بردار {f} و ماتریسهای [M],[K] مفروضند 2) ماتریس سختی مثلثی شده سیستم 3) حل برای تغییر شکل استاتیکی {U0} 4) حل برای بردار اول (a حل برای بردارهای (b نرمال سازی نسبت به [M] (c به روز آوری بردار {U0} 5) حل برای بردارهای اضافی i=2,…,r-i (a حل برای بردارهای جدید (b نرمال سازی نسبت به [M] در مقابل بردارهای قبلی (c نرمال سازی نسبت به [M] (d به روز آوری بردار استاتیکی {Ui-1} 6) اضافه‌کردن باقیمانده استاتیکی{Ur-1} به عنوان تصحیح استاتیکی {Xr} (دلخواه) (a متعامد سازی {Ur-1} نسبت به [M] (b نرمال سازی {Ur-1} نسبت به [M] 7) متعامد سازی بردارهای ریتز با توجه به ماتریس سختی (دلخواه) (a حل برای مساله مقدار ویژه r*r فرکانسهای تقریبی (b محاسبه بردارهای ریتز متعامد نهایی با استفاده از این فرمول بندی می توانیم معیار خطای دیگری برای مشخص کردن آنکه چه زمانی محتوای طیفی بردار آغازین افول می کند بدست بیاوریم.

در هر گام محاسبه می توان نرم باقیمانده استاتیکی در مقابل نرم تحلیل استاتیکی اولیه کنترل نمود.

هنگامی که نسبت زیر حد معینی برود الگوریتم می تواند بردارهای تهی بسازد که تجربیات عددی نمایانگر یک افت لگاریتمی می باشند.

هر چند پیشنهاد می شود که تخمین خطای بارگذاری در این روش (LWYD) نیز استفاده گردد.

زیرا مقادیر آنها مرتبط با روند برهم نهی برداری می باشد و نشاندهنده قسمتی از کل بار مشارکت کننده در تحلیل می باشند و نیز می توانند نشان دهند که چه وقت محتوای طیفی بردار آغازین توسط پایه برداری پوشش داده شده است.

در پایان جالب است توجه کنیم که این الگوریتم مشابه همان الگوریتم بردارهای ریتز وابسته به بار اصلی می باشد با این تفاوت که باقیمانده استاتیکی به آن اضافه شده است.

ارتباط بازگشتی در بردارهای ریتز اصلاح شده به صورت زیر می باشد.

(12-6) با (13-6) در مقایسه با (14-6) در فرمول بندی اصلی بردارهای ریتز وابسته به بار، با توجه به خواص تعامد بردارهای ریتز می توان نشان داد.

(15-6) بنابراین متعامدسازی بردار جاری در مقابل دو بردار تشکیل شده قبلی, (که در گام 5b گنجانده شده است) از الگوریتم بردارهای ریتز اصلاح شده بردار خالص شده را ایجاد می کند که از نظر تئوری برابر بردار خالص شده حاصل از الگوریتم اصلی (اولیه) بردارهای ریتز وابسته به بار می‌باشد که با یک ضریب Cui-1 مقیاس شده است.

یعنی: (16-6) سپس نرمال سازی نسبت به جرم بردارهای مشابه {Xi} را ایجاد خواهد کرد.

2-2-6- کاربرد کامپیوتری با استفاده از فرم کاهش یافته سه قطری با توجه به تشابه روش بردارهای ریتز وابسته به بار روش Lanczos ، ممکن است که ماتریس کاهش یافته سه قطری را مستقیماً از ضرایب ارتونرمال سازی بدست آمده هنگام تولید پایه برداری بدست آوریم.

مهمترین مزیت این روش عدم نیاز به محاسبه صریح و کاهش عرض باند و نیازهای ذخیره ای می باشد.

در اینجا از ذکر جزییات خودداری می کنیم.

اگر غیر همزمان سازی کامل سیستم کاهش یافته مد نظر باشد (در مختصات تعمیم یافته) می توان از مزیت تقارن ماتریس سه قطری استفاده نمود.

استفاده از الگوریتم QR و نیز جابجایی‌های ویلکینسون بسیار کارآمد می باشد.

(در محاسبه ) به طور تجربی9r2 عملیات برای حل لازم است.

با مطالعه ارتباط تکراری در الگوریتم بردارهای ریتز وابسته به بار اصلاح شده می توان مشاهده نمود که تشکیل ماتریس سه قطری در این الگوریتم نیز امکان پذیر می باشد .

3-6- کاربرد عددی روی سیستمهای ساده سازه ای 1-3-6- برنامه کامپیوتری CALSAP برای کاربرد عددی و محاسبات بردارهای ریتز وابسته به بار برنامه ویژه ای که ویرایش جدیدی از CAL می باشد استفاده شده است که دارای کدهای Fortran 77 می باشد.

شکل 2-6- مدل فرضی یک سکوی دریایی 2-3-6- توضیح مدل ریاضی برای کاربرد عددی برای ارزیابی روشهای گوناگون پیشنهاد شده برای بردارهای ریتز وابسته به بار، تجربیات عددی بر روی یک سیستم سازه ای انجام شد.

یک مدل فرضی از یک سکوی دریایی با 40 درجه آزادی به صورت یک تیر برشی مدل شد (شکل (2-6)) مصالح طوری استفاده شدند که تناوب اصلی ارتعاش حدود گردد.

سپس پاسخ دینامیکی تدریجی سازه به دو نوع بارگذاری امتحان شد.

اولین نوع به عنوان بارگذاری موج در نظر گرفته شد که یک بارگذاری سینوسی، حداکثر شدت 1000 kips و تناوب 8sec بود.

این مساله به طور ویژه ای طراحی شده بود که: - اثر مدهای بالاتر بر سازه زیاد باشد زیرا تنها یک بار متمرکز در سازه بدون میرایی وارد می شد.

- روش مجموع تصحیح استاتیکی یا شتاب مدی بسیار کارآمد باشند.

- حالت دوم بارگذاری زلزله را ارائه می نمود.

شتاب زمین به صورت یک حرکت سینوسی با تناوب 0.74sec و حداکثر دامنه 0.2g ایده‌آل شده است.

روش تصحیح استاتیکی و شتاب مدی برای این بارگذاری چندان موثر نیستند زیرا ، فرکانس بارگذاری در محدوده فرکانسهای مهم سازه می باشد.

در هر دو حالت گفته شده یک حل دقیق ریاضی متناظر با توزیع مکانی پاسخ تدریجی، {U(s)} برای سیستم به راحتی قابل محاسبه می باشد.

(17-6) تغییر مکان دقیق توسط رابطه زیر مشخص می گردد.

(18-6) نیروی دقیق برشی از روی تغییر مکانهای دیفرانسیلی گره‌ها قابل محاسبه می باشد.

3-3-6- ارزیابی گونه‌های محاسباتی الگوریتم بردارهای ریتز وابسته به بار کیفیت کلی الگوریتم باید با در نظرگیری تلاش عددی لازم و احتیاجات ذخیره مورد نیاز برای رسیدن به همگرایی تغییر مکان و تنش مورد قضاوت قرار گیرند.

مشخصاَ موارد زیر مورد توجه قرار گرفتند: - کارایی محاسباتی برای اندازه گیری زمان مربوط به محاسبات برداری - تعداد بردارهایی که باید در نظر گرفته شوند.

- الگوی توزیع مکانی بارگذاری که توسط پایه برداری بدست می آید.

توزیع مکانی بارگذاری با استفاده از معیار خطای اقلیدسی که اشکال (3-6) و (4-6) نشان داده شده است که برتری بردارهای ریتز وابسته به بار نسبت به روش حل ویژه دقیق مشهود است.

برای مشاهده درجه تعامد حاصل شده توسط مبنای برداری، معیار اندیس تعامد، OI ، معرفی شده است که به صورت نسبت کمترین مقدار ویژه به بیشترین مقدار ویژه می‌باشد.

که برای یک بردار متعامد کامل و ایده آل این عدد 1 خواهد بود برای بردارهای وابسته خطی این مقدار 0 می باشد.

شکل 5-6 الگوریتمهای مختلف بردارهای ریتز وابسته به بار را نشان می دهد.

همانطور که مشاهده می گردد الگوریتم بردارهای ریتز اصلاح شده (LWYD) بسیار کارآمد می باشد و اگر در الگوریتم ابتدایی بردارهای ریتز وابسته به بار یک چرخه تعامد صورت گیر مقدار OI بعد از 20 بردار 0.9981955 خواهد بود که بسیار مناسب است.

مشخصات همگرایی پاسخ سازه در اشکال 6-6 و 7-6 نشان داده شده اند.

حداکثر خطای دو نیروهای برشی نیز بر اساس تعداد بردارهای در نظر گرفته شده در آنالیز محاسبه شدند و به صورت زیر فرمول بندی شده است.

(19-6) که در اینجا Sk,i یعنی نیروی برشی در تیر kبا در نظرگیری مد i ،در مجموع خطاهای موجود در تغییر مکان به طور کلی بسیار کوچک بودند و در جداول نیامده اند.

همگرایی کلی به گونه ای تعریف شده بود که خطای برش تیر کمتر از 1% باشد.

برای حالت بارگذاری موج همگرایی با در نظرگیری 3 بردار ریتز وابسته به بار اصلاح شده به همراه باقیمانده استاتیکی، یا 3 بردار ریتز وابسته به بار با توجه به فرمول بندی اولیه بدست آمد.

روش حل ویژه دقیق نیازمند یک پایه کامل با 40 بردار بود در حالیکه روش حل ویژه که در آن تصحیح استاتیکی و یا روش شتاب مدی استفاده شود تنها به 2 بردار نیاز داشتند که این بیانگر کارایی روش تصحیح استاتیکی لحاظ شده در فرمول‌بندی بردارهای ریتز وابسته به بار می باشد (هنگامی که فرکانس بارگذاری به فرکانس سازه به گونه ای باشد که تاثیر مدهای بالاتر کم باشد).

شکل 3-6- ارایه بارگذاری موج معیار خطای اقلیدسی شکل 4-6- ارایه بارگذاری زلزله معیار خطای اقلیدسی شکل 5-6- سطح تعامد باقیمانده با استفاده از الگوریتمهای مختلف شکل 6-6- حداکثر خطا در نیروی برشی تیر(بارگذاری موج) شکل 7-6- حداکثر خطا در نیروی برشی تیر(بارگذاری زلزله) در اشکال 8-6 و 9-6 می توانیم شکلهای مدی محاسبه شده توسط روشهای گوناگون را مشاهده کنیم که روش بردارهای ریتز وابسته به بار یا بردارهای ریتز وابسته به بار اصلاح شده بسیار نزدیک به بردارهای حاصل از حل ویژه دقیق به همراه تصحیح استاتیکی می باشند.

برای بارگذاری زلزله، که با فرکانس نیرویی بین مد 4 و 5 اعمال شد، همگرایی با 10 بردار ریتز اصلاح شده با الگوریتم اصلی بردار ریتز حاصل شد (البته به همراه باز متعامدسازی) در حالیکه برای بردارهای ریتز اصلاح شده بدون باقیمانده استاتیکی 12بردار لازم بود.

در صورت استفاده از حل ویژه دقیق 30 بردار مورد نیاز بود و به هنگام استفاده از تصحیح استاتیکی یا روش شتاب مد به 15 بردار نیاز می باشد.

در این حالت که تاثیرات تصحیح استاتیکی بالا نیست الگوریتم بردارهای ریتز وابسته به بار اصلاح شده جوابهای تقریباً با دقت مشابهی را با در نظرگیری بیشتر از 7 بردار بدست می دهد.

(با باقیمانده استاتیکی یا بدون آن).

که وقتی بردارهای اولیه را مورد استفاده قرار دهیم پراکندگی در پاسخها نشان داده می شود و در صورت عدم استفاده از باقیمانده استاتیکی ثبات سریعتر حاصل می شود (جدول 2-6) شکل 9-6- اشکال مدی برای همگرایی بارگذاری زلزله جدول 2-6- حداکثر خطا در نیروی برشی تیر (%) بارگذاری زلزله * مد 4ریتزتناوب 0.75 دارد که با توجه به بارگذاری اعمال شده به تشدید نزدیک است.

** مد 4 ریتز تناوب 0.77 دارد که با توجه به بارگذاری اعمال شده به تشدید نزدیک است.

بخش هفتم: تحلیل دینامیکی غیرخطی با برهم نهی مستقیم بردارهای ریتز اهمیت فزاینده تحلیل غیرخطی بدین جهت است که مهندس سازه مدل سازی واقعی را بسط داده و تحلیل دقیقی از عناصر بحرانی سازه داشته باشد.مهمترین عوامل در کارایی محاسبات دینامیکی معمولاً مربوط به روش راه حل بکار برده شده می‌باشد.

انتخاب تکنیک راه حل مناسب می‌تواند تحلیل را در جهت امکان‌پذیری اقتصادی و اجرای تکنیکی بدون اغماض و صرفنظر در مدل سازی ،که سبب بدست آوردن نتایج سئوال برانگیز شود قرار دهد.

در گروه ویژه ای از مسائل استفاده از برهم نهی مستقیم بردارهای ریتز برای تحلیل دینامیکی غیرخطی می‌تواند استراتژی حل سودمندتری نسبت به راه حل کلاسیک انتگرال گیری گام به گام سیستمهای معادلات غیرخطی را ارائه دهد.

این فصل استراتژی راه حل های مختلفی را برای اعمال متد کاهش یافته بردارهای وابسته به بار ریتز برای مسائل دینامیکی غیرخطی محلی و کلی ارائه می دهد.

1-7- منبع و حد رفتار غیرخطی منابع مهم غیرخطی در یک سیستم سازه را می‌توان بصورت زیر گروه بندی نمود: 1.

غیرخطی هندسی: این نوع غیرخطی به علت ارتباط غیرخطی جابجائی ، تنش ایجاد شده و نیاز به برقراری تعادل و موازنه در ترکیب عناصر تغییر شکل یافته می‌باشد.

2.

غیرخطی مواد و مصالح: این نوع غیرخطی به سبب غیرخطی بودن تنش و کرنش و یا رابطه نیرو ـ تغییر شکل عضو ، ایجاد می‌شود.

3.

غیرخطی بودن نیرو: این نوع غیرخطی بودن زمانی روی می دهد که نیروها تابعی از جابجائی های سیستم باشند، بارگذاری هیدرودینامیکی در سکوهای ساحلی و بارگذاری فشار روی غشاء نازک نمونه‌هائی از این نوع می باشند.

وقتی نوع و شدت عمل عوامل غیرخطی در سیستمی مشخص شد مهمترین جنبه و اقدام در گزینش شمای راه حل، ارزیابی میزان و اندازه عملکرد غیرخطی مورد استفاده می باشد.

در بسیاری از مسائل عملی تحلیل غیرخطی توانائی های سازه هنگامی که فقط در یک و یا چند مورد محدود غیرخطی شده و در سایر قسمت ها عملکرد خطی دارد موردنیاز می‌باشد.

اگر از دانش پیش بینی محل های غیرخطی بهره برداری نمائیم می توانیم روشهای حل عددی موثری در این مورد بسط و توسعه دهیم.

2-7- تکنیک های راه حل برای تحلیل دینامیکی غیرخطی تکنیک های راه حل را می‌توان طبق روشهای اتخاذ شده جهت حل معادلات حرکت طبقه بندی نموده و بدینصورت نوشت: (1-7) که در آن [M] : ماتریس جرم ثابت و یا متمرکز بوده که معمولاً از نظر زمانی ثابت و مستقل از پارامترهای جابجائی در نظر گرفته می‌شود.

[CNL] : ماتریس میرائی غیرخطی وابسته به سرعت و جابجائی است.

[KNL] : ماتریس سختی غیرخطی وابسته به جابجائی هاست.

[FNL] بردار نیروی اعمال شده که می‌تواند وابسته به جابجائی ها باشد.

مهمترین اختلاف در تکنیک های راه حل این است که آیا راه حل در جستجوی تکنیک انتگرال گیری است و یا اینکه روش برهم نهی بردارها را برای حل معادله (1-7) به کار می‌برد.

در هر دو مورد روش راه حل برمبنای حل گام به گام افزایشی معادلات مربوط به حرکت می‌باشد.

راه حل نیاز به این دارد که در هر مرحله زمانی معادلات تعادل دینامیکی مربوطه ایجاد و با بکارگیری تکرار تعادل حل شود.

این عمل را می‌توان حل مسئله استاتیکی غیرخطی معادل در هر مرحله زمانی دانست.روش انتگرال گیری برای حل معادله (1-7) را می توان برمبنای روش سختی مماسی و یا روش شبه نیرو انجام داد.

ارزیابی و منفک سازی ماتریس سختی مماس (برای تسریع همگرائی تکرار تعادل) در هر مرحله زمانی روش پرهزینه ای است.

باتوجه به مساله موردنظر در هر مرحله از زمان نیاز نیست که ماتریس سختی مماسی محاسبه شود.

در بسیاری از تحلیل ها می‌توان ماتریس سختی اصلی را در سراسر محاسبه پاسخ بکار برد و تمام عوامل غیرخطی را در ارزیابی شبه نیروهای موجود در سمت راست معادلات حرکت در نظر گرفت.

پس: [CNL] = [CL] + [CN] (2-7) و [KNL] = [KL] + [KN] که در آن [CL] و [KL] ماتریس های میرائی و سختی بوده و وضعیت اولیه سازه را ارائه می‌دهد.

[CN] و [KN] ماتریس‌های میرائی و سختی وابسته به سرعت و جابجائی‌ها می‌باشند.

اگر معادلات (2-7) در معادله (1-7) جایگزین شود خواهیم داشت: (3-7) که در آن شبه بردار نیرو بشرح زیر تعریف شده است: (4-7) اگر خواص غیرخطی محدود به قسمت کوچکی از سازه باشد ماتریس های [CN] و [KN] شامل عناصر صفر بوده و هزینه ارزیابی شبه نیروها در صورت محاسبه در سطح عناصر نیز کوچک خواهد بود.

3-7- روشهای انتگرال گیری مستقیم روشهای زیادی برای انتگرال گیری مستقیم گام به گام برای معادلات حرکت کاملاً همزمان وجود دارد.

پارامتر بحرانی مورد استفاده در این تکنیکها معمولاً بزرگترین گام زمانی بوده که می‌توان از آن برای رسیدن به نتایج نسبتاً دقیقی استفاده کرد.

استاندارد مقایسه نهائی، برای هر روشی، هزینه کلی برای تحلیل رضایت بخش می‌باشد.

عملگرهای انتگرال گیری صریح و ضمنی گوناگونی در محاسبات دینامیک سازه بکار برده شده است.

مد ویژه مدل کامل عناصر محدود با کوتاهترین تناوب معمولاً برای تعیین مرحله زمانی به منظور کاربرد پایدار و دقیق عملگرهای انتگرال گیری صریح ضروری و بحرانی است.

پایداری بدون شرط بسیاری از شماهای تک مرحله ای ضمنی (همانطوریکه در تحلیل خطی استفاده شده است) استفاده از آنها را برای تحلیل عملی غیرخطی با استقبال مواجه کرده است.

مرحله زمانی عملگرهای ضمنی باتوجه به دقت موردنیاز راه حل انتخاب می‌شود.

شماهای ضمنی بوسیله وابستگی بردار جابجائی {Uj+1} در پایان مرحله زمانی نسبت به بارگذاری ها ماتریس میرائی و سختی در پایان مرحله j+1 ارزیابی و مشخص می‌شود.

این امر مستلزم محاسبات تکراری در هر مرحله زمانی و یا روش تخمینی بوسیله بکار بردن نوعی برون یابی می باشد.

فورمولاسیون ضمنی منتهی به ارتباطات همزمان معادلات شده که در آن ماتریس ضریب ترکیبی از ماتریسهای جرم، سختی و میرائی می‌باشد.

رایج ترین شماتیک ها به شرح زیر هستند: روش نیومارک بتا (Newmark Beta method) روش هوبولت (Houbolt) روش ویلسون (بدون هیچ گونه شرطی برای مسائل خطی >1.37 پایدار است) تشریح کامل کاربرد این روشها در فرم افزایشی معادله تعادل در دینامیک غیرخطی در مراجع آمده است.

اجرای کامپیوتری انتگرال گیری افزایشی با الگوریتم تکرار تعادل تصحیحی، در هر مرحله زمانی، بوسیله بته (Bathe) و سیمنتو (Cimento) خلاصه‌ شده است.

مروری بر توسعه و پیشرفت در روشهای انتگرال گیری مستقیم نسبت به زمان برای دینامیک غیرخطی بوسیله فلیپا (Fellipa) و پارک (Park) نوشته شده است.

4-7- روشهای برهم نهی بردار روش انتگرال گیری از نظر ریاضی مطابق انتگرال گیری همزمان تمام مدها در یک گام زمانی می‌باشد.

امکان بکارگیری برهم نهی بردار در تحلیل خطی نباید سبب تعجب شود زیرا فقط تغییر مبنا به یک سیستم معادلات موثرتر انجام شده است.

هرچند در نظر اول کاربرد روش مدال در مسائل غیرخطی اصل شناخته شده اینکه برهم نهی در مورد سیستم های غیرخطی کاربرد ندارد را نقض می‌کند.

نیکل (Nickell) (22) استفاده از اصل «برهم نهی مدال محلی» را پیشنهاد نمود.

این اصل بیان می دارد که حرکات ها رمونیکی کوچک را می‌توان روی حرکات بزرگ استاتیکی برهم نهی نمود و آن حرکات کوچک را بصورت طیف فرکانس غیرخطی (سختی مماسی) ارائه داد.

روشهای برهم نهی برداری می تواند نسبت به انتگرال گیری مستقیم مرحله به مرحله سیستم همزمان کاهش نیافته به دو طریق مختلف مؤثرتر باشد.

اگر تغییر مختصات معادلات حرکات را کاملاً غیرهمزمان می نماید در اینصورت انتگرال گیری نسبت به زمان را با روشهای دقیق‌تری نسبت به روشهای پایدار بدون شرط در انتگرال گیری مستقیم نسبت به زمان می‌توان انجام داد.

مرحله زمانی موردنیاز برای برهم نهی بردارمعمولا بزرگتر از مرحله زمانی موردنیاز در روش مستقیم است.نیز ممکن است مراحل زمانی را به زمان‌های کوچکتر تقسیم و بطور جداگانه برای انتگرال گیری مدهای بالاتر سیستم های کاهش یافته در نظر گرفته شود اگر مراحل زمانی موردنیاز برای انتگرال گیری مستقیم و حل برهم نهی بردار یکسان باشد راه حل برهم نهی بردار در صورتی اقتصادی تر است که مقدار محاسبات برای تغییر محور مختصات و حل سیستم کاهش یافته کوچکتر از حل مستقیم کل معادلات باشد.

این امر در صورتی صحیح است که تعداد بردارهای انتقال ، r ، بسیار کوچکتر از n، سیستم اصلی باشد هرچه سازه بزرگتر باشد این امر مصداق بیشتری دارد.

بعلاوه راه حل ویژه تقریبی سیستم کاهش یافته معادلات، اطلاعات طیف فرکانس را برای مدهای حاکم در سراسر پاسخ غیرخطی در اختیار خواهد گذاشت.

مؤثر بودن تکنیک برهم نهی بردار در مسائل دینامیکی غیرخطی بستگی به عوامل زیر دارد : تعداد پایه بردارهای موردنیاز برای شبیه سازی درست پاسخ.

این امر تابعی از محتوای فرکانسی و توزیع مکانی بارگذاری در مقابل مشخصات ارتعاشی سیستم می‌باشد.

تناوب به روزآوری و یا تجدید محاسبه پایه بردارهای که تابعی از میزان تغییر این بردارها نسبت به زمان است.

قابلیت الگوریتم بکار برده شده برای محاسبه بردارهای تغیر شکل اولیه و بهسازی آنها.

باید توجه داشت که فرکانس های سیستم در هنگام پاسخ غیرخطی دائماً در تغییر است.

اگر سیستم در زمان تاریخچه پاسخ سخت شود فرکانسها بزرگتر شده و تعداد بردارهای انتخاب شده برمبنای تحلیل خطی احتمالاً محافظه کارانه خواهد بود.

با این وجود در تحلیل سازه نرم شونده (وضعیت الاستو پلاستیک (Elasto-plastic condition) تعداد جابجائیها عمومی مورد نیاز ممکن است بزرگتر از تعداد لازم در تحلیل خطی باشد.

5-7- گزینش بردارهای انتقال برای روشهای برهم نهی در رهیافت اول تغییر پایه در هر مرحله زمانی با بکارگیری اشکال مد دقیق مطابق زمان t می‌تواند انجام شود.

چنین روشی نیاز به حل عمومی مسئله ویژه دارد: t[K] t[] = [M] t[] t[2] که در آن t نوشته شده در بالا، ماتریس سختی، اشکال مدی و فرکانس های متناظر آن در زمان t را مشخص می نماید.

مؤثر بودن چنین شماتیکی با توجه به نیاز عملیات بزرگ عددی زیر سئوال است.

نیکل (Nickell) (22) الگوریتمی ارایه کرد که از تکرار زیر فضا برای استخراج فقط پائین‌ترین مدها از مسئله مقادیر ویژه عمومی، که وضعیت اولیه سازه را نشان می داد، استفاده می نمود.

روش تکرار مبنی بر تئوری تشویش (Perturbation) مرتبه اول مسئله مقدار ویژه برای اصلاح پایه بردار به مجرد احساس غیرخطی بودن بکار برده شد.

برای مسائل یک بعدی که مورد نظر نیکل قرار گرفت در حدود 10% زمان کامپیوتر بیشتر برای تکنیک مدال در مقایسه با روشهای مستقیم موردنیاز بود.

چنین انتظار می رفت که این تاوان اقتصادی وقتی که مدل ها با عرض باند بزرگتری مورد تحلیل قرار می گرفت حذف گردد.

برای مسائل غیرخطی ملایم که عمل غیرخطی محدود است کاربرد تکنیک مدال همراه با روش شبه نیرو رضایت بخش بنظر می رسد.

زیرا تنها یکسری از مدها (برمبنای تحلیل خطی) را می‌توان در تمام تحلیل بکار برد.

فقط نیروی باقیمانده بعلت غیرخطی بودن در هر مرحله زمانی نیاز به تغییر شکل دارد.

این راه کار توسط بته (Bathe) و گراسیوسکی(Gracewski) (4) پیشنهاد گردید.

باید توجه نمود که اگرچه ماتریس های سختی، میرائی و جرم قطری است (میرائی رایلی (Rayliegh) فرض شده است) ، سیستم کاهش یافته توسط بردارهای نیروی غیرخطی همزمان شده بنابراین باید انتگرال‌گیری زمانی مستقیم بکار برده شود.

در تعدادی از مسائل دینامیکی سازه ای غیرخطی ساده چنین پی برده شد که روش‌های مدال با عمل گرهای مستقیم قابل رقابت هستند (به مدارک 14 و 4 و 26 مراجعه شود) با این وجود باید توجه داشت که اگر قرار باشد از این تکنیک در شکل کنونی بطور مؤثر استفاده شود به تحلیل کنندگان با تجربه نیاز است زیر انتخاب تعداد مدها نگهداشته شده در تحلیل تاثیر زیادی در دقت و هزینه دارد.

عقیده براین است که استفاده از بردارهای ریتز اصلاح شده LWYD می‌تواند قابلیت روش های مدال در دینامیک را بهسازی نماید زیرا روش اقتصادی تری در ایجاد پایه بردار برای تغییر معادلات سیستم را فراهم می آورد.

بعلاوه روش بردار ریتز وابسته به بار معمولاً با تعداد بردار محدودتری نسبت به بردارهای ویژه دقیق به همگرائی می رسد که سبب مزایای محاسباتی بیشتری است.

در حقیقت ایدلسون و کاردونا روش توسعه داده شده در مدرک (19) را برای بکار بردن بردارهای ریتز محاسبه شده از الگوریتم اصلی ویلسون (Wilson) ، یوان (Yuan) و دیکنز (Dickens) (29) برای تعامل مسائل دینامیکی غیرخطی هندسی بسط و ارائه دادند.

در مقایسه با محاسباتی که بکارگیری مدهای تانژانت دقیق و مشتقات آنها بعمل آمد مشاهده شد که پایه های بدست آمده از روش بردارهای ریتز وابسته به بار (شامل بعضی از مشتقات مربوطه) و تولید آنها ساده تر و نتایج آن هم تراز و بهتر از مدهای ویژه دقیق (و مشتقات مربوطه) می‌باشد.

6-7- خط مشی های حل سیستم های غیرخطی کلی هنگامی که بردارهای پایه نمایانگر رفتار دینامیکی نیستند روش تکرار تعادل به همگرائی نخواهد رسید و باید پایه ها تغییر یابند.

مجموعه بردارهای فعلی باید تغییر یافته و بردارهائی از پایه ها حذف و یا اضافه گردند.

اولین رهیافت از تغییر پایه بردار ریتز اصلاح شده LWYD محاسبه مجدد بردارهای جدید بر مبنای تانژانت سختی هر مرحله از انتگرال گیری زمانی است.

اگرچه هزینه تولید بردارهای ریتز اصلاح شده LWYD کمتر از محاسبه بردارهای ویژه دقیق می باشد.

با این وجود این تکنیک گران تر است زیرا در هر مرحله فاکتورگیری کامل ماتریس تانژانت سختی مورد نیاز خواهد بود.

اگر عوامل غیرخطی شدید نباشد راه بهتر اصلاح پایه برداری جاری برای در نظر گرفتن عوامل غیرخطی بدون فاکتورگیری از ماتریس سختی تانژانت می باشد.

بدین منظور بکارگیری تکنیک تشویش زیر پیشنهاد می‌گردد: