دانلود مقاله ورق مرکب

3-1- مقدمه مواد مرکب شامل دو یا چند ماده است که تولید خواص دلخواه می‌کنند در حالیکه هیچ کدام به تنهایی این خاصیت را ندارند .

مواد مرکب الیافی ، برای مثال شامل الیاف با استحکام و مدول الاستیستیه بالا است که در یک زمینه به کار می‌رود .

میله‌های فولادی که در بتون به کار می‌رود یک نوع ماده مرکب الیافی است .

در این نوع مواد مرکب ، الیاف عضو اصلی تحمل بار است و زمینه ، انتقال بار بین الیاف را انجام می‌دهد و همچنین از انسباط و تغییر شکل الیاف در مقابل محیط جلوگیری می‌کند .

مواد مرکب الیافی برای کربرد صنعتی به صورت لایه‌های نازک استفاده می‌شود .

با چسباندن لایه‌ها می‌توان استحکام دلخواه را به دست آورد و در ساختن میله یا تیر یا ورق به کار برد .

جهت الیاف در هر لایه‌ها و ترتیب چیدن آنها به گونه‌ای است که سختی و استحکام مورد نظر برای مورد خاص به دست آید .

3-2- معادلات ساختاری رابطه کلی هوک ، دارای 9 مؤلفه تنش و کرنش است .

( 3-2-1 ) در این رابطه به خاطر تقارن تنش و کرنش ، 36 ثابت مستقل وجود دارد به کمک رابط انرژی تعداد ثابت‌ها به 21 می‌رسد .

موادی که دارای سه صفحه متعامد متقارن هستند ارتوتروپیک می‌نامند .

تعداد ثابت‌های الاستیک به 9 تا کاهش می‌یابد .

روابط تنش کرنش برای یک ماده ارتوتروپیک به صورت زیر در می‌آید : ( 3-2-2 ) ثابت‌ های الاستیک با ثابت‌های مهندسی به صورت زیر رابطه دارند .

( 3-2-3 ) که : مدول یا نگ در جهت‌های 1 و 2 و 3 است و نسبت پو آسون است .

مدول برشی در صفحات 2-1 ، 3-1 و 3-2 است .

بین ضریب پو آسان و مدول یانگ رابط زیر بر قرار است که : ( 3-2-4 ) معادله ساختاری ترموالاستیک خطی با روابط بالا کمی تفاوت دارد .

از تابع انرژی آزاد رابطه تنش کرنش به صورت زیر به دست می‌آید : ( 3-2-5 ) ضریب بر حسب ضریب انبساط حرارتی خطی به صورت زیر رابطه دارد .

( 3-2-6 ) ( 3-2-7 ) برای مواد ارتوتروپیک ، برای صفر است .

3-3-تبدیل خواص مواد در بدست آوردن معادلات سازه برای مواد مرکب باید همه ضرائب و متغیرها در مختصات مساله بیان شود .

بنابر این بعضی از خواص و ضرائب در جهت‌های اصلی که باید به مختصات مساله تبدیل شود و از آنها استفاده شود .

تنش و کرنش اگر در مختصات اصلی باشند آنها را در مختصات مساله بیان می‌کنند ؛ بنابر این در ادامه آن نیاز است که تانسور سختی و ضرائب انبساط حرارتی هم در مختصات جدید بیان شوند ، با توجه به اینکه تانسور مرتبه چهار است برای تبدیل آن نیاز به 4 ضریب تبدیل است .

( 3-3-1 ) در فرم ماتریسی : ( 3-3-2 ) با انجام ضرب می‌توان روابط تبدیل شده را به دست آورد که برای مواد ارتوتروپیک به صورت زیر خواهد بود .

( 3-3-3 ) ضرائب را می‌توان در کتابهای مواد مرکب مانند 61 دید .

به طور مشابه ، ضرائب انبساط حرارتی که تانسور مرتبه دو است ، تبدیل می‌شود .

( 3-3-4 ) این تبدیلات برای محورهای مختصات دکارتی معتبر است .

3-4-تئوری ورق مرکب لمینیت های مواد مرکب از به هم چسبیدن لایه‌های مواد مرکب با جهات مختلف الیاف ساخته می‌شود حتی ممکن است جنس هر لایه متفاوت باشد .

اکثر لمینیت‌ها تحت بار خمشی یا کششی قرار می‌گیرند .

بنابر این لمینیت به عنوان یک ورق محسوب می‌شود از معادلات ورق استفاده می‌کنند و معادله لمینیت را به دست می‌آورند .

تحلیل ورق‌های مرکب در گذشته بر پایه یکی از روش‌های زیر بوده است .

تئوری های تک لایه معادل الف) تئوری کلاسیک لمینیت ب) تئوری‌های تغییر شکل برشی لمینیت تئوری الاستیسیته سه بعدی الف) فرمولهای الستیسیته سه بعدی رایج ب) تئوری لایه‌ای روش‌های مدل چند گانه ( دو بعدی و سه بعدی ) تئوری‌های تک لایه از تئوری سه بعدی الاستیسیته گرفته شده است که با فرض مناسب مربوط به تغییر شکل یا حالت تنش در طول ضخامت لایه همراه است .

این فرضیات حالت سه بعدی را به دو بعدی تبدیل می‌کند .

در تئوری الاستیسیته سه بعدی یا در تئوری لایه‌ای ، هر لایه به صورت یک جامد سه بعدی دیده می‌شود .

در تئوری‌های تک لایه معادل ، میدان تغییر مکان یا تنش را به صورت ترکیب خطی توابع مجهول در راستای ضخامت فرض می‌کنند .

( 3-4-1 ) که مولفه iام تغییر مکان یا تنش است .

(x,y) مختصات صفحه ای است و z مختصات در راستای ضخامت ، t مشخص کننده زمان است و توابعی یک باید تعیین شود .

هنگامی که تغییر مکان‌ها است ، معادلات حاکم به وسیله اصل تغییر مکان مجازی به دست می‌آیند : ( 3-4-2 ) مشخص کننده انرژی کرنش مجازی ، کار انجام شده مجازی به وسیله نیروهای خارجی اعمال شده و انرژی سینتیک مجازی است .

این کمیت‌ها بر حسب تنش‌های واقعی و کرنش‌های مجازی بیان می‌شوند که توابع تغییر مکان فرض شده و تغییرات آنها وابسطه هستند .

برای سازه ورق و لمینیت ، انتگرالگیری روی ناحیه ورق انجام می‌شود که به صورت حاصلضرب انتگرال روی سطح ورق و انتگرال روی ضخامت ورق در می‌آید این کار بخاطر میدان تغییر مکان فرض شده در راستای ضخامت است .

( 3-4-3 ) h مشخص کننده ضخامت کل ورق است و سطح ورق میانی تغییر شکل نیافته است که به عنوان مرجع برای ورق خواهد بود .

تمام توابع نسبت به ضخامت مستقل هستند .

بنابر این انتگرال در راستای ضخامت مستقیما گرفته می‌شود .

در نهایت مساله به دو بعد کاهش می‌یابد .

در نتیجه در اصل تغییر مکان مجازی ، معادلات دیفرانسیل شامل متغیرهای وابسته و برایند تنش در طول ضخامت خواهد بود .

( 3-4-4 ) یرایندها را می‌توان بر حسب ها نوشت که این کار به کمک معادلات ساختاری ( روابط تنش –کرنش ) و روابط کرنش – تغییر مکان انجام می‌گیرد .

برای زمانی که مولفه های تنش است ، روش مشابهی صورت می‌گیرد به‌جز اینکه برای بدست آوردن معادلات حاکم از اصل نیروهای مجازی استفاده می شود .

ساده ترین تئوری تک لایه معادل ، تئوری ورق لمینیت کلاسیک است که تعمیمی از تئوری ورق کلاسیک کیرشهف برای ورق‌های مرکب است .

میدان تغییر مکان برای این تئوری به صورت زیر است : ( 3-4-5 ) مؤلفه‌های تغییر مکان در راستای ( x , y , Z ) از یک نقطه روی صفحه میانی ( z=0 ) است .

تغییر مکان بلاخاطر نشان می‌سازد که عمود بر صفحه میانی ورق قبل و بعد از تغییر شکل عمود باقی می‌ماند .

فرضیات کیرشهف از تغییر شکل برش عرضی و اثرات عرضی صرف نظر می‌کند و تغییر شکل به طور کامل وابسته به خمش و کشش صفحه‌ای است .

متداولترین تئوری در تئوری های لمینیت تک لایه معادل ، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول است که میدان تغییر مکان به فرم زیر است : ( 3-4-6 ) دوران حول محورهای x,y است .

تئوری مرتبه اول برشی سینماتیک تئوری کلاسیک را با در نظر گرفتن یک تغییر شکل برشی عرضی کلی ، بیان می‌کند یا به عبارت دیگر کرنش برش عرضی در طول ضخامت ثابت فرض می‌شود .

تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول از ضرائب تصحیح برشی استفاده می‌کند .

تعیین این ضریب برای ورق مرکب دلخواه سخت است .

ضریب به پارامترهای لمینیت بستگی ندارد بلکه شرایط مرزی و بارگذاری در آن اثر دارد .

تئوری‌های ورق لمینیت تک لایه معادل مرتبه دوم و بالاتر از چند جمله‌ای های مرتبه بالاتر برای مؤلفه‌های تغییر مکان در راستای ضخامت لمینیت استفاده می‌کنند .

تئوری های مرتبه بالاتر ، دارای مجهولات اضافی هستند که مفهوم فیزیکی برای آنها وجود ندارد .

تئوری مرتبه دوم به صورت زیر بیان می‌شود : ( 3-4-7 ) میدان تغییر مکان در تئوری مرتبه سوم در حالت کلی به صورت زیر است : ( 3-4-8 ) حالات خاصی از این تئوری توسط ردی بیان شده است .

میدان تغییر مکان در تئوری مرتبه سوم ردی به صورت زیر بیان می‌شود : (3-4-9) در این تئوری ، کرنش‌ های برش عرضی از مربته دو است و تنش‌ های برش عرضی در بالا و پایین لایه عمومی از جنس مونوکلینیک را برابر صفر می‌دهد .

بنابر این دیگر نیازی به ضریب تصحیح برشی نیست .

تئوری مرتبه سوم نتایج دقیقتری نسبت به تئوری مرتبه اول می‌دهد و در حالی که محاسبات آن هم زیادتر شده‌است در این تئوری ، کرنش‌های برش عرضی از مربته دو است و تنش‌های برش عرضی در بالا و پایین لایه عمومی از جنس مونوکلینیک را برابر صفر می‌دهد .

تئوری مرتبه سوم نتایج دقیقتری نسبت به تئوری مرتبه اول می‌دهد و در حالی که محاسبات آن هم زیادتر شده‌است .

تئوری دیگری از مرتبه سوم ردی به صورت زیر است : ( 3-4-10 ) تعداد متغیرهای مستقل در رابط فوق تنها 7 است .این میدان تغییر مکان دارای کرنشهای برش عرضی مرتبه دوم است و لذا تنش‌های برش عرضی روی بالا و پایین سطح لمینیت صفر می‌شود .

تئوری‌های مرتبه سوم دقت زیاد دارند ولی از نظر محاسباتی زمانگیرتر و پیچیده‌تر هستند .

در مدل‌ها المان محدود مربوط این تئوری‌ها ، برای ارضاء شرط تنش برش عرضی برابر صفر در بالا و پایین لایه باید پیوستگی تغییر شکل عرضی و مشتقات آن بین المانها رعایت شود .

میدان تغییر سوم در حالت کلی در نظر گرفته و شرط تنش های برش روی صفحات مرزی ورق برابر صفر ارضاء شود میدان تغییر مکان زیر به دست می‌آید : ( 3-4-11 ) تئوری مرتبه سوم ردی به دست می‌آید .

اصل کار مجازی 4-1-مقدمه در تشریح تحلیلی یک فرایند فیزیکی ، اغلب فرضیات به گونه‌ای بیان می‌شوند که مشخص کند فرآیند چگونه کار می‌کند ؛ معادلات حاکم با استفاده از قوانین یا اصول فیزیک بدست می‌آیند .

مجموعه معادلات به دست آمده را مدل ریاضی فرآیند می‌نامند .

برای حل مسائل مکانیک جامدات ، بعضی از قوانین در فرم‌های مختلف بیان می‌شوند .

مثلا ، اصل بقا در اندازه حرکت خطی می‌گویند جمع برداری تمام نیروهای اعمال شده به یک جسم برابر با نرخ تغییرات اندازه حرکت جسم است .

به عنوان قانون دوم نیوتون است و نیز این قانون را از اصل تغییر مکان مجازی می‌توان به دست آورد .

به صورت دیگر ، جمع برداری تمام نیروهاو گشتاورهای اعمال شده به یک جسم برابر صفر است تا معادله حرکت به دست آید .

در بیان دیگر ، کار انجام شده به وسیله نیروی واقعی در طول حرکت تغییر شکل مجازی ( که شامل قیدهای هندسی است ) از یک جسم برابر صفر است تا معادله حرکت به دست آید این اصل انرژی است که مفید در بدست آوردن معادلات حاکم و شرایط مرزی است .

استفاده از قانون دوم نیوتون در بدست آوردن معادلات حاکم یک مساله سازه ، نیاز به جداسازی یک المان حجمی از سازه باهمه نیروهای اعمال شده و داخلی است ( رسم دیاگرام آزاد یک المان).

برای سیستم های مکانیکی ساده که رسم دیاگرام آزاد راحت است ، راه ساده‌ای برای پیدا کردن معادلات حاکم بر جسم است .

در حالی که برای سیستم های پیچیده ، کار سخت و مشکل است و علاوه بر این پیدا کرن شرایط مرزی که برای حل معادلات لازم است روشن و واضح نمی‌باشد .

در این موقع اصل انرژی ، وسیله‌ دیگری برای یافتن معادلات حاکم و حل آنها فراهم می‌کند .

4-2-نیروها و تغییر مکان‌های مجازی یک سیستم مکانیکی داده شده ، می‌تواند در چندین و ضعیت قرار می‌گیرد که شامل قیدهای هندسی سیستم است .

از بین تمام وضعیت‌های ممکن ، تنها یکی با واقعیت متناظر است .

این وضعیت در حالتی است که قانون دوم نیوتون ( معادله تعادل یا حرکت سیستم ) را ارضا، می‌کند مجموعه وضعیت‌های ممکن که قیود هندسی سیستم را ارضاء می‌کند .

اما لزوما قانون دوم نیوتون را ارضاء نمی‌کنند ، مجموعه وضعیت‌های مجاز می‌نامند .

این وضعیت‌ها ، همگی نزدیک به وضعیت صحیح هستند به گونه‌ای که با تغییرات بسیار کوچک وضعیت صحیح به دست می‌آیند .

هنگام تغییرات باید قیود هندسی رعایت شود و همین طور همه نیروها در مقدار واقعی خود ثابت باقی می‌مانند .

هنگامی که یک سیستم مکانیکی بتواند بعضی از تغییرات را داشته باشد ، گفته می‌شود که آن می‌تواند تغییر مکان های مجازی نسبت به وضعیت صحیح و واقعی را تحمل کند.

این تغییر مکانها هیچ ارتباطی با تغییر مکان واقعی ندارند که ممکن است با تغییر در بارهای وارده ایجاد شود .

این تغییر مکان را مجازی می‌نامند چون تصور می‌شود که موقع اعمال بارهای واقعی اتفاق افتد .

در نقاط مرزی که نزدیک به قیود هندسی است و مقادیر آنها مشخص است تغییر مکان‌های مجازی صفر است .

به طور مشابه ، با توجه به مفهوم تغییر مکان مجازی ، می‌توان نیروی مجازی برای یک سیستم را بیان کرد .

نیروهای مجازی باید یک مجموعه نیروهایی باشند که با هم در حال تعادل باشند .

این نیروها می‌توانند داخلی یا خارجی باشند و هیچ ربطی به نیروهای واقعی سیستم ندارند .

برای مثال، یک میله که یک انتهای آن ثابت است و در انتهای دیگر آن نیروی محوری اعمال شده است ، می‌تواند نیروهای مجازی گوناگونی داشته باشد .

یکی می‌تواند نیروی که در دو انتهای سمت راست و چپ آن با جهت مخالف اعمال شود برای یک تیر یک سرگیر دار به طول Li ، یک سیستم نیروی مجازی شامل یک نیروی نقطه‌ای مجازی اعمال شده به سمت بالا در انتهای آزاد و به سمت پایین در انتهای گیر دار و یک گشتاور اعمال شده در جهت ساعتگرد در انتهای گیردار .

مجموعه از نیروهای مجازی در حال تعادل هستند که می‌توان با جمع کردن نیروها و گشتاورها ثابت کرد .

4-3-انرژی کرنشی و انرژی کرنشی متمم از قانون اول ترمودینامیک ، معادله انرژی به دست می‌آید .

( 4-3-1 ) که انرژی درونی ، مؤلفه‌های شار حراتی و Q منبع حرارتی داخلی است .

برای اجسام الاستیک تحت شرایط دما ثابت ، انرژی درونی تنها شامل انرژی کرنش الاستیک ذخیره شده است .

تابع پتانسیل انرژی کرنشی .

U به نام چگالی انرژی کرنشی برای نیروهای داخلی شناخته می‌شود .

( 4-3-2 ) یا چگالی انرژی کرنشی با انتگرال به دست می‌آیند .

( 4-3-3 ) عبارت بالا برای اجسام الاستیکی با روابط خطی یا غیر خطی کرنشی – تغییر مکان صادق است .

این معادله با توجه به کار انجام شده بوسیله نیروهای داخلی که باعث تغییر شکل شده اند می‌توان به دست آورد .

سطح بالای منحنی تنش – کرنشی ، مشخص کننده چگالی انرژی کرنشی متمم است که به صورت زیر به دست می‌آید .

( 4-3-4 ) یا : ( 4-3-5 ) برای مواد الاستیک خطی : ( 4-3-6 ) و انرژی کرنشی و انرژی کرنشی متمم برای یک جسم الاستیک به این صورت خواهد بود.

( 4-3-7 ) ( 4-3-8 ) به طور مشابه : ( 4-3-9 ) 4-4-اصل انرژی و کار مجازی 4-4-1-اصل تغییر مکان مجازی کار مجازی عبارت است از کار انجام شده بر روی یک ذره یا جسم قابل تغییر شکل ، بوسیله نیروهای واقعی در جابجایی کردن ذرات یا جسم در طول یک تغییر مکان فرضی است که این تغییر مکان شامل قیود هندسی است .

نیروهای اعمال شده هنگام تغییر مکان مجازی ثابت نگه‌داشته می‌شود .

اصل تغییر مکان مجازی بیان می‌کند که : در صورتی که جسم در حال تعادل باشد کار مجازی انجام شده بوسیله نیروهای واقعی در مسیر تغییر مکان مجازی برابر صفر است .

می‌توان اصل کار مجازی را برای یک ذره در حال تعادل استاتیک نشان داد یک ذره تحت n نیروی موافق است .

فرض کنید که ذره یک تغییر مکان مجازی دارد در حالی که تمام نیروها و جهت‌های آن ثابت باقی مانده است.

کل کار مجازی انجام شده توسط همه نیروها به صورت زیر بدست می‌آید .

( 4-4-1 ) توجه کنید که عبارت داخل پرانتز جمع برداری همه نیروهای اعمال شده به ذره است .

از مکانیک برداری ، جمع برابر صفر است چون ذره در حال تعادل است پس به طور معکوس اگر و دلخواه باشد .

نتیجه می‌شود که یعنی ذره در حال تعادل است به عبارت دیگر ، ذره در حال تعادل است اگر و تنها اگر : ( 4-4-2 ) برای هر رابطه بالا بیان ریاضی اصل تغییر مکان مجازی برای یک ذره می‌باشد این بحث به سادگی می توان به جسم صلب بسط داد .

زیرا یک جسم صلب از بی نهایت مجموعه ذرات تشکیل شده است .

اصل تغییر مکان مجازی را برای جسم قابل تغییر شکل می‌پذیریم .

در جسم تغییر شکل پذیر نقاط مواد می‌تواند نسبت به یک نقطه دیگر حرکت کند و علاوه بر کار نیروهای خارجی ، کار انجام دهد .

بنابر این ، کار مجازی انجام شده بوسیله نیروهای داخلی به همان اندازه کار نیروهای خارجی مورد توجه است .

یک جسم پیوسته V در حالت تعادل ، تحت نیروی حجمی f و کشش سطحی t قرار دارد .

فرض کنید که قسمت از مرز تغییر مکان دارد و بر روی قسمت نیروی کششی وجود دارد .

مرزهای ، هیچ اشتراکی ندارد و جمع آنها برابر کل مرز s است .

بردار تغییر مکان متناظر با وضعیت تعادل جسم است و مؤلفه‌های تنش و کرنش است .

مجموعه وضعیت‌های مجاز با توابع به اندازه کافی مشتق پذیر تعریف می‌شوند که شرایط مرزی هندسی را ارضاء می‌کند : روی به وسیله اصل کار مجازی از تمام وضعیت‌های مجاز ، تنها یک حالت واقعی متناظر با وضعیت تعادل برای بارهای از پیش تعیین شده وجود دارد .

برای تعیین میدان تغییر مکان صحیح u ، تغییر مکان مجازی از وضعیت صحیح انتخاب می‌شود .

تغییر مکان مجازی ، یک تابع دلخواه پیوسته است که حالت همگن از قیدهای هندسی جسم را ارضاء می‌کنند و می‌باید متعلق به مجموعه تغییرات مجاز باشد .

اصل کار مجازی بیان می‌کند که یک جسم پیوسته در حال تعادل است اگر کار مجازی همه نیروهای اعمال شده به جسم برای تغییر مکان مجازی برابر صفر باشد : ( 4-4-3 ) که : = نتیجه کار مجازی مربوط به نیروهای داخلی = نتیجه کار مجازی مربوط به نیروهای خارجی اصل کار مجازی مستقل از هر قانون ساختاری و مسائل محیط پیوسته کاربرد در الاستیک ( خطی و غیر خطی ) و غیر الاستیک خطی تحت تغییر مکان های بزرگ ، اما کرنش‌های کوچک به کار می‌رود .

با توجه به رابطه بالا می‌توان نوشت : ( 4-4-4 ) برای یک جسم پیوسته ، روابط سینماتیک ، است برای خواهیم داشت .

( 4-4-5 ) انتگرال روی مرز را می‌توان به صورت جمع دو انتگرال نوشت .

یکی روی و دیگری روی .

انتگرال روی صفر می‌شود زیرا مشخص است ( بنابر این روی ) ( 4-4-7 ) با جایگزینی در معادلات بالا : (4-4-8 ) به خاطر این که تغییر مکان مجازی دلخواه در حجم و مستقل است : ( 4-4-9 ) ( 4-4- 10 ) معادله بالا معادله تعادل برای جامدات با تغییر مکان بزرگ است .

4-4-2-اصل انرژی پتانسیل کل اصل کار مجازی که در قبل بحث شد .

قابل استفاده برای هر جسم پیوسته است .

یک مورد خاص از اصل کار مجازی که به جسم الاستیک ( خطی و غیر خطی ) منتهی می‌شود به عنوان اصل انرژی پتانسیل کل بیان می‌شود .

برای اجسام الاستیک ( بدون تغییرات دما ) ، یک تابع چگالی انرژی کرنشی وجود دارد که ( 4-4-11 ) چگالی انرژی کرنشی تابعی از کرنش‌های یک نقطه است و مثبت فرض می‌شود .

حال عبارت اصل کار مجازی را می‌توان بر حسب چگالی انرژی کرنشی وجود دارد بیان کرد .

( 4-4-12 ) انرژی کرنشی است : ( 4-4-13 ) اگر تغییرات دما در نظر گرفته شود .

چگالی انرژی کرنشی می‌باید با عوض شود که تابع انرژی آزاد است .

اگر انرژی پتانسیل بارهای اعمالی به عنوان تابعی از تغییر مکان تعریف شود : ( 4-4-14 ) اصل کار مجازی به صورت زیر در می‌آید .

( 4-4-15 ) جمع به نام انرژی پتانسیل کل نامیده می‌شود .

عبارت بالا به عنوان اصل مینیمم انرژی پتانسیل کل بیان می‌شود .

4-5-اصل همیلتون برای یک محیط پیوسته همانگونه که اصل همیلتون برای سیستم گسسته بیان می‌شود به طور مشابه می‌توان آن را برای دینامیک اجسام تغییر شکل پذیر به کار برد .

قانون دوم نیوتون همچنین برای اجسام تغییر شکل پذیر به کار می‌رود .

این حالت کلی اصل بقاء مومنتوم خطی را بیان می‌کند .

قانون دوم نیوتون برای یک جسم محیط پیوسته برای تعیین حرکت آن کافی نیست شرائط سینماتیک و معادلات ساختاری برای تکمیل کردن تعیین معادله حرکت لازم است .

قانون دوم نیتون برای حرکت یک جسم پیوسته به صورت زیر داده می‌شود .

( 4-5-1 ) که جرم ، بردار شتاب ، برایند همه نیروهای اعمال شده به جسم است .

یک ذره ماده که در موقعیت قرار دارد از مسیر واقعی پیروی می‌کند .

هنگامی جسم تغییر کند ، شرائط مرزی سینماتیک به تغییر می‌کند که تغییرات مجاز ( تغییر مکان مجازی ) از مسیر است .

فرض می‌شود که مسیر تغییر یافته متفاوت با مسیر واقعی باشد مگر در زمان‌های اولیه و نهایی بنابر این یک تغییرات مجاز شرایط زیر را ارضاء می‌کند .

( 4-5-2 ) ( 4-5-3 ) که مشخص کننده قسمتی از مرز جسم است که تغییر مکان روی آن مشخص شده‌است .

با ضرب اسکالر در قانون نیوتون بالا با ، کار انجام شده در نقطه به دست می‌آید .

زیرا توابع از موقعیت هستند .

با انتگرالگیری حاصل ضرب روی حجم ( و سطح ) جسم ، کار انجام شده تمام نقاط یا کل بدست می‌آید .

کار انجام شده ردی جسم در زمان به وسیله برایند نیروها در حرکت در طول تغییر مکان مجازی به صورت زیر داده می‌شود : ( 4-5-4 ) بردار نیروی حجمی ، بردار تنش سطحی مشخص شده ، تانسور تنش و کرنش هستند .

آخرین جمله در معادلات بالا مشخص کننده کار مجازی نیروهای داخلی ذخیره شده در جسم است .

کرنش سازگار با مفهوم روابط کرنش تغییر مکان است .

کار انجام شده به وسیله نیروی اینرسی در حرکت در طول تغییر مکان مجازی به صورت زیر داده می‌شود : ( 4-5-5 ) که چگالی جرم ( می‌تواند تابعی از موقعیت باشد ) جسم است .

با توجه به قانون نیوتون : ( 4-5-6 ) ( 4-5-7 ) برای بدست آوردن آخرین عبارت می‌توان از انتگرالگیری جزء به جزء برای اولین جمله استفاده کرد .

جمله انتگرال گیری شده صفر می‌شود زیرا شرایط اولیه و نهایی مشخص شده است .

رابط بالا ، حالت کلی اصل همیلتون برای یک جسم پیوسته است .

برای یک جسم الاستیک ایده‌آل : ( 4-5-8 ) ( 4-5-9 ) با جایگزینی در معادله با لا به دست می‌آید .

( 4-5-10 ) که انرژی سینیتک و کرنشی است .

( 4-5-11 ) معادله بالا مشخص کننده اصل همیلتون برای یک جسم الاستیک ( خطی یا غیر خطی ) است .

جمع انرژی کرنش پتانسیل نیروهای خارجی ، ، انرژی پتانسیل کل ، نامیده می‌شود.

برای یک جسم بدون حرکت ( نیروهای اعمال شده به اندازه کافی آرام حرکت می‌کنند که حرکت مستقل از زمان است و نیروهای اینرسی صرف نظر می‌شود ) ، اصل همیلتون به اصل تغییر مکان مجازی تبدیل می‌شود .

منبع : سایت : WWW.physicsir.com فهرست مطالب عنوان صفحه فصل اول : ورق مرکب مقدمه ..................................................................................

2 معادلات ساختاری ....................................................................

2 تبدیل خواص مواد ....................................................................................................................

5 تئوری ورق مرکب ....................................................................................................................

6 فصل دوم : اصل کار مجازی مقدمه ..........................................................................................................................................

15 نیروها و تغییرمکان های مجازی ........................................................................................

16 انرژی کرنشی و انرژی کرنشی متمم ................................................................................

18 اصل انرژی و کار مجازی ....................................................................................................

20 اصل تغییر مکان ......................................................................................................................

20 اصل انرژی پتانسیل کل ........................................................................................................

24 اصل همیلتون برای یک محیط پیوسته .............................................................................

26