نظریه اعداد شاخه ای است از ریاضیات که از خواص اعداد درست ، یعنی 1،2،3،4،5 و …
که اعداد شمار یا اعداد صحیح مثبت نیز نام دارند ، سخن می گوید .
شک نیست که اعداد صحیح مثبت نخستین اختراع ریاضی بشر است . به سختی می توان انسانی را مجسم کرد که ، لااقل در سطحی محدود ، قدرت شمارش نداشته باشد . یادداشتهای تاریخی نشان می دهند که سومریان باستان حدود 5700 ق . م تقویم داشته اند و از اینرو باید نوعی حساب می داشته اند.
حدود 2500 ق . م سومریها ، با استفاده از عدد 60 به عنوان پایه ، دستگاه اعدادی ابداع کردند . این دستگاه نصیب بابلیها شد که به مهارتهای والایی در حساب رسیدند . لوحهایی گلی بدست آمده از بابلیها شامل جداول ریاضی کاملی هستند و قدمتشان به 2000 ق . م می رسد .
وقتی تمدنهای باستان به سطحی رسیدند که اوقات فراغت برای تدقیق در اشیاء بدست آمد ، برخی به تفکر در سرشت و خواص اعداد پرداختند . این کنجکاوی به نوعی تصوف یا علم معانی رمزی اعداد منجر شد و حتی امروزه نیز اعدادی نظیر 3،7،11،13 نشانه خوش شانسی یا بدشانسی هستند.
بیش از 5000 سال قبل از آنکه کسی به فکر بررسی خود اعداد به طور اصولی باشد ، اعداد برای حفظ محاسبات و معاملات تجاری بکار رفته اند. اولین روش علمی برای بررسی اعداد صحیح ، یعنی مبدا، اصلی نظریه اعداد ، را عموماً به یونانیان نسبت می دهند.
حدود 600 ق . م ، فیثاغورس و پیروانش بررسی نسبتاً جامعی از اعداد صحیح کردند . آنان اولین کسانی بودند که اعداد صحیح را به طرق مختلف رده بندی کردند :
اعداد زوج : 2،4،6،8،10،12و…
اعداد فرد : 1،3،5،7،9،11 و …
اعداد اول : 2،3،5،7،11،13،17،19،23،29،31،37،41،43،47،53،59،61،67،71،73،79، و …
اعداد مرکب : 4،6،8،9،10،12،14،15،16،18،20 و …
یک عدد اول عددی است بزرگتر از 1 که تنها مقسوم علیه های آن 1 و خود عدد باشند . اعدادی که اول نباشند مرکب نام دارند . جز عدد 1 که نه اول گرفته می شود نه مرکب .
فیثاغوریان ، اعداد را به هندسه نیز مربوط ساختند . آنان مفهوم اعداد چند ضلعی را معرفی کردند : اعداد مثلثی ، اعداد مربعی ، اعداد مخمسی و … دلیلی این نامگذاری هندسی با نمایش اعداد به وسیله نقاط به شکل مثلث ، مربع ، مخمس و … بوده است .
رابطه دیگر اعداد با هندسه ناشی از قضیه معروف فیثاغورس است ، که می گوید : در هر مثلث قائم الزاویه مربع وتر مساوی مجموع مربعات دو ضلع دیگر است . فیثاغوریان به مثلثهای قائمی نظر داشتند که همانند شکل اضلاعشان اعدادی صحیح باشند .
این نوع مثلث ها را امروزه مثلثهای فیثاغوری می نامند . سه تایی (x,y,z ) نظیر که نمایشگر طول اضلاع است یک سه تایی فیثاغوری نام دارد .
یک لوح بابلی ، متعلق به حدود 1700 ق. م پیدا شده که شامل صورت مبسوطی از سه تایی های فیثاغوری است و بعضی از اعداد آن نسبتاً بزرگ می باشند . فیثاغوریان نخستین کسانی بودند که روشی برای تعیین بی نهایت سه تایی عرضه کردند . این روش را می توان با نمادهای جدید چنین بیان کرد : فرض کنیم n یک عدد فرد بزرگتر از 1 باشد و
سه تایی (x,y,z) حاصل همیشه یک سه تایی فیثاغوری است که در آن z=y+1 . چند نمونه از آن عبارتند از :
(جدول در فایل اصلی موجود است)
علاوه بر اینها ، سه تاییهای فیثاغوری دیگری نیز وجود دارند ؛ به عنوان مثال :
(جدول در فایل اصلی موجود است)
در این مثالها داریم z=y+2 . افلاطون (349-430 ق. م) روشی برای تعیین همه این سه تایی ها بدست آورد ؛ این سه تایی ها در نمادگذاری جدید با فرمولهای زیر بیان می شوند :
حدود 300 ق م واقعه مهمی در تاریخ ریاضیات رخ داد. ظهور اصول اقلیدس ، مجموعه ای مرکب از 13 کتاب ، ریاضیات را از علم معانی رمزی اعداد به یک علم استنتاجی بدل ساخت . اقلیدس اولین کسی بود که حقایق ریاضی را همراه با برهانهای دقیق آنها عرضه کرد. سه کتاب از سیزده کتاب (کتابهای X , IX , VII ) به نظریه اعداد اختصاص دارند. در کتاب IX اقلیدس وجود بینهایت عدد اول را ثابت می کند. اثباتش هنوز در کلاسهای درسی تدریس می شود. او در کتاب X روشی برای بدست آوردن همه سه تاییهای فیثاغوری ارائه می دهد، اما دلیلی بر اینکه روشش جمیع آنها را بدست می دهد نمی آورد. این روش را می توان در فرمولهای زیر خلاصه کرد :
x = t(a2-b2), y = 2tab, z = t (a2+b2),
که در آنها b , a , t اعداد صحیح مثبت دلخواهی هستند بطوری که a>b ، a , b عامل اول مشترک ندارند و یکی از a , b فرد و دیگری زوج است .
همچنین ، اقلیدس در مسئله دیگری که فیثاغوریان طرح کرده بودند و آن یافتن همه اعداد تام بود تحقیقات مهمی انجام داد . عدد 6 را یک عدد تام می گفتند زیرا 6 = 3 + 2 + 1 ، یعنی مساوی مجموع تمام مقسوم علیه های واقعی خود ( یعنی ، مجموع تمام مقسوم علیه های کوچکتر از 6 ) بود . مثالی دیگر از اعداد تام 28 است . زیرا 28 = 1+2+4+7+14 و 1،2،4،7و14 مقسوم علیه های 28 هستند که از 28 کوچکترند . یونانیان مقسوم علیه های واقعی یک عدد را "فرازهای" آن عدد می خواندند . آنان 6 و 28 را اعداد تام می گفتند ، از آن جهت که هر یک مساوی مجموع فرازهای خود می باشد .
در کتاب ix ، اقلیدس همه اعداد تام زوج را به دست می دهد . وی ثابت کرده است که یک عدد زوج تام است اگر به شکل 2p-1(2p-1) بوده و در آن 2p-1,p هر دو اول باشند .
دو هزار سال بعد ، اویلز عکس قضیه اقلیدس را ثابت کرد . یعنی ، ثابت کرد که هر عدد تام زوج باید از نوع اقلیدس باشد . مثلاً برای 6 و 28 داریم :
28 = 23-1(23-1) = 4.7 , 6 = 22-1(22-1) = 2.3
اولین پنج عدد تام زوج عبارتند از :
6 ، 28 ، 496 ، 8128 و 336 ، 550 ، 33
در واقع ، اعداد تام بسیار نادرند . فقط 24 عدد تام شناخته شده است . اینها در فرمول اقلیدس نظیر به مقادیر زیر از p اند :
2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,9689,9941,11,213,19,937.
اعداد به شکل 2p-1 که در آن p عدد اول است ، به افتخار مرسن که آنها را در 1644 مطالعه کرد اعداد مرسن نام یافته اند و با Mp نموده می شوند . ثابت شده است که Mp به ازای 24 عدد اول مذکور در بالا اول ، و به ازای مقادیر دیگر از p<257 ،="" جز="">
p = 157,167,193,199,227,229