نمایش سیگنالهای VAG با استفاده از تبدیلات
زمان -فرکانس
1-1- مقدمه
در این تحقیق ابتدا برخی از تبدیلات زمان – فرکانس به طور مختصر بیان می‌شود. در ادامه به بررسی نمایشهای زمان – فرکانس سیگنالهای VAG با تبدیلات مذکور پرداخته شده است. این قسمت شامل دو مرحله است، در مرحله اول سیگنال شبیه سازی شده VAG با توضیح‌های مختلف زمان – فرکانس نمایش داده می‌شود. مرحله دوم به بررسی نمایشهای متفاوت سیگنال VAG با توزیع‌های مذکور اختصاص یافته است. در نهایت روشهای مختلف نمایش با یکدیگر مقایسه شده‌اند.
2-1- تبدیل زمان – فرکانس
1-2-1- اهمیت تبدیلهای زمان – فرکانس
سیگنالهایی که ما در زندگی روزمره با آنها سر و کار داریم، از قبیل سیگنالهایی که از اعضای مختلف بدن انسان تولید می شوند یا سیگنالهایی که صداها و تصاویر اطراف ما را تشکیل می‌دهند، ماهیت غیر ایستان[1] دارند، به مفهومی که اگر طیف این سیگنالها رسم شود این طیف با زمان تغییر می کند، لذا این نوع سیگنالها را نمی توان بدون توجه توأم به زمان و فرکانس مطالعه نمود. در واقع کامل ترین روش برای نمایش یک سیگنال نمایش توأم در حوزه زمان و فرکانس است.
راه حل عملی برای نمایش توأم در حوزه زمان و فرکانس این است که محورهای عمودی و افقی را برای زمان و فرکانس اختیار کنیم و با نمایش سه بعدی که ارتفاع نمایانگر دامنه سیگنال است و یا استفاده از کمرنگ و پررنگ شدن خطوط در نمایش دو بعدی، دامنه سیگنال را در حوزه زمان -فرکانس نشان بدهیم.
اکثر نمایشهای پرکاربرد زمان – فرکانس که در واقع همگی تبدیل های ریاضی سیگنال می باشند در دو دسته کلی جا می گیرند:
تبدیلات خطی[2]
تبدیلات دو خطی یا تربیعی[3]
مهمترین خاصیتی که تبدیلات خطی را از تبدیلات دو خطی و سایر تبدیلات جدا می سازد، برقرار بودن اصل بر هم نهی در اینگونه تبدیلات است. در ادامه به مرور مختصر برخی از تبدیلات حوزه زمان – فرکانس می پردازیم]13[.
2-2-1- تبدیل خطی STFT [4]
همانطور که در ابتدای بحث ذکر شد، تبدیل فوریه معمولی سیگنال وابسته به زمان نمی باشد، لذا بدیهی است که باید راهی پیدا کرد تا بتوان تبدیل فوریه را به حالت سیگنالهای غیر ایستان تعمیم داد.
یک روش ساده برای تحقق این امر آنست که به جای توابع Sin و Cos معمولی که در حوزه زمان نامحدود هستند و در حوزه فرکانس متمرکز می باشند از توابع دیگری که در حوزه زمان محدود شده اند استفاده کنیم. برای این منظور می توان تابع پنجره انتخاب کرد و با حرکت دادن آن در حوزه زمان روی سیگنال مورد نظر ماهیت متغیر با زمان محتوای فرکانسی را به نحوی ثبت کرد. در واقع به جای به کار بردن Sin و Cos از ضرب شده این توابع در تابع پنجره استفاده می شود. به صورت ریاضی داریم:
(1)
در این رابطه s(t) تابع زمانی سیگنال بوده و h(t) تابع پنجره بحث شده است. طبق این رابطه با حرکت دادن پنجره زمانی بینهایت تبدیل فوریه متناظر با هر زمان به دست می‌آوریم که همین سبب ثبت محتوای فرکانسی سیگنال بر حسب زمان می شود.
چند تعریف مهم:
به طور خلاصه چند تعریف را که در این تبدیل و سایر تبدیل های زمان - فرکانس بسیار مطرح میشوند، ذکر می کنیم:
الف) فرکانس لحظه ای: اگر سیگنال s(t) را در حالت کلی به شکل:
(2)
تعریف کنیم، فرکانس لحظه ای به شکل (مشتق زمانی فاز) تعریف می‌شود. این پارامتر بسیار مهم است به خصوص که عموما به عنوان معیاری از مناسب بودن تبدیل زمان – فرکانس به کار می‌رود.
ب) فرکانس و زمان متوسط
اگر s(t) سیگنال، S(f) طیف آن و E انرژی سیگنال باشد داریم:
(3)
(4)
اگر T(t,f) تبدیل زمان - فرکانس باشد، فرکانس متوسط شرطی (وابسته به زمان) را می توان به این شکل تعریف کرد:
(5) t
و تبدیل T(t,f) مطلوب آنست که برای آن رابطه زیر برقرار باشد:
(6) t
ج) مدت زمان و پهنای باند
: مدت زمان[5]
: پهنای باند[6]
د) اصل عدم قطعیّت
اگر s(t)یک سیگنال باشد و s(t)=0 آنگاه داریم
(9)
این یک اصل کلی برای سیگنالهایی است که رابطه شرط این اصل را ارضاء می کنند و نشان می‌دهد که کاهش به طور همزمان ممکن نیست و یک نوع مبادله[7] بین این پارامترها وجود دارد و باعث می شود که افزایش یکی کاهش دیگری را به دنبال داشته باشد.
باید توجه کرد که در صورت گوسی بودن سیگنال رابطه نامساوی باید به تساوی تبدیل شود.
3-2-1- تبدیلهای دو خطی
زمانی که درباره توزیع انرژی یک سیگنال یا طیف قدرت آن بحث می کنیم نیاز به تعریف نحوه نمایش تربیعی یا دو خطی می باشد، زیرا اصولا انرژی و توان ساختار ریاضی درجه دوم دارند.
اگر بخواهیم توزیع دو خطی را برای انرژی سیگنال پیدا کنیم که دارای مفهوم چگالی انرژی یا قدرت باشد لازم است که:
(10)
(11)
(12)
این سه رابطه تضمین می‌کند که انتگرال تبدیل در حوزه های زمان و فرکانس مفهوم انرژی داشته باشد. به روابط (11) و (12) روابط حاشیه‌ای[8] می‌گویند. رابطه (10) نیز به رابطه انرژی کل معروف است.
نکته مهم اینجاست که توزیع انرژی واقعی سیگنال باید بتواند در هر نقطه در صفحه زمان – فرکانس چگالی انرژی را بدهد اما در مورد تبدیلهای زمان – فرکانس چنین امری به طور دقیق نمی تواند رخ دهد .
همانطور که در توزیع STFT دیدیم اصل عدم قطعیت همواره ما را از داشتن دقت بی نهایت در هر دو راستای زمان و فرکانس محروم می کند و در واقع چگالی انرژی برای یک محدوده به حداقل پهنای
صادق خواهد بود نه برای هر نقطه از صفحه زمان و فرکانس.
خیلی از تبدیلهای دو خطی ممکن است یکی یا هر دو خاصیت حاشیه ای را ارضاء نکنند، اما به نحوی به صورت چگالی انرژی تعبیر می شوند. همچنین بدلیل توان دو بودن تبدیلات دو خطی و مفهوم انرژی آنها نمی توان انتظار داشت که اصل بر هم نهی تبدیلات خطی را بر آورده سازند.
بطور مثال اگر سیگنال x(t) متشکل از دو سیگنال x2(t) و x1(t) باشد بگونه ایکه:
(13) x(t) = c1x1(t) + c2x2(t)
می توان دید که:
(14) Tx(t,f) = |c1|2Tx1(t,f)+|c2|2Tx2(t,f)+c1c2*Tx1x2(t,f)+c2c1*Tx2x1(t,f)
در این رابطه Txi(x.f) جمله اصلی[9] و Txixj(t,f) (i#j) جملات تداخلی[10] نامیده می‌شود. در عمل حضور جملات تداخلی سبب محدودیت کاربرد تبدیل میشوند. در قسمت های بعدی در مورد اثر این جملات بحث خواهد شد. از تبدیلهای دو خطی معروف توزیع ویگنرویل (WVD)[11] است. قسمت بعدی به معرفی چند نوع توزیع ویگنرویل اختصاص یافته است.
1- توزیع ویگنرویل:
این تبدیل اکثر خواص ریاضی دلخواه در مورد توزیع سیگنال را برآورده می‌سازد، به عنوان مثال WVD همواره حقیقی بوده و انتقال در حوزه زمان و فرکانس را حفظ می‌کند. به عنوان یک توزیع انرژی هم خواص حاشیه‌ای را حفظ می کند و به عنوان یک توزیع دو بعدی برای انرژی سیگنال قابل تعریف است. WVD یک سیگنال x(t) به صورت زیر تعریف می شود:
(15)
از آنجا که WVD می تواند مقادیر منفی هم اختیار کند، نمی‌توان انتظار داشت با این تبدیل بتوان چگالی انرژی در هر نقطه را بدست آورد. بعضی از خواص این توزیع عبارتند از:
<>توزیع ویگنر ویل یک سیگنال دلخواه همواره حقیقی است.با انتگرال گیری تبدیل نسبت به فرکانس چگالی انرژی لحظه ای بدست می آید.با انتگرال گیری نسبت به زمان طیف چگالی انرژی محاسبه می شود.با انتگرال گیری روی زمان و فرکانس انرژی سیگنال بدست می آید.اگر سیگنال x(t) فقط در فاصله زمانی بخصوصی غیر صفر باشد، توزیع ویگنر نیزمحدود به این فاصله زمانی خواهد بود. اگر طیف سیگنال X(f) در ناحیه فرکانسی خاصی غیر صفر باشد، توزیع ویگنر نیز در آن ناحیه فرکانسی محدود می شود.انتقال زمانی سیگنال به انتقال زمانی توزیع ویگنر منجر می شود.مدولاسیون فرکانسی سیگنال به انتقال فرکانسی توزیع ویگنر منجر می شود.انتقال زمانی و مدولاسیون فرکانسی بطور همزمان به انتقال زمانی و فرکانسی توزیع ویگنر منجر می شود. 10- تغییر سیگنال s(t) به s(at) منجر به تغییر توزیع ویگنر T(t,f)به می‌شود .
مفهوم "نرم کردن" و "فیلتر کردن":
عمدتا تبدیل WVD به خاطر خواص ریاضی مفیدش بسیار قابل توجه بوده و به دلیل وجود جملات تداخلی مزاحم استفاده از آن محدود شده است. جملات تداخلی جملات نوسانی هستند، می‌توان به کمک عمل نرم کردن که در واقع همان مفهوم فیلتر کردن به شکل پایین گذر را خواهد داشت به کاهش جملات تداخلی بپردازیم.
1 - Non Stationary
2 - Linear Transforms
3 - Bilinear or Quadratic transforms
4 - Short Time Fourier Transform
5 - Time Duration
6 - Band width
7 - Trade off
8 - Marginal
9 - Autoterm
10 - Crossterm
11 - Wigner Ville Disturbition