- کاربرد روش L1 – تقریب در معادلات انتگرال تکین
1- مقدمه: معادلات انتگرال را می‌توان با استفاده از فن LP – تقریب (به ویژه L1 تقریب) به طور موثری حل کرد.
در این متن فن کلی را مورد بحث قرار می‌دهیم و سپس آن را با حل چند معادله انتگرال مختلف توضیح می‌دهیم.
علاوه برامتیازات دیگر، این روش به طور موفقیت آمیزی در مورد معادلات انتگرال تکین و همین طور معادلات انتگرال قویاً تکین (نظیر انتگرال های آدامار یا متناهی – قسمت) تعمیم داده شده و به کار رفته است.
در بحث حاضر، مروری بر این مطالعه ارائه می‌شود.
2- مقدمات ریاضی :
به طور کلی هدف این متن عبارت است از کاربرد فن LP- تقریب در حل یک معادله انتگرال فردهولم (خطی یا غیر خطی) نوع اول یا دوم به صورت
در معادله بالا تابع هدایتگر و هسته K توابعی معلوم اند، در حالی که تابع مجهول است که باید آن را بیابیم پارامتر نیز معلوم است.
مساله کلی LP- تقریب پیوسته را می‌توان به صورت زیر فرمول بندی کرد:
تابع f معین روی یک بازه حقیقی مانند x همراه با یک تابع تقریب مانند F(A)، که به متغیر n پارامتری A=(a1 , …,an) در Rn وابسته است، مفروض اند.
در این صورت مساله LP- تقریب پیوسته به این معنی است که باید برداری مانند به گونه ای بیابیم که به ازای هر رابطه :
برقرار باشد.
جنبه اصلی مساله که باید مورد بحث واقع شود فرمول بندی مجدد مساله معادله انتگرال به صورت یک مساله LP- تقریب است.
برای این منظور، فرض کنیم بتوان تابع جواب را با تابع F(A)، که ممکن است خطی یا غیر خطی باشد، تقریب زد.
اگر این تقریب را در معادله انتگرال بگذاریم، رابطه زیر به دست می‌آید:
در آن صورت مساله تقریب را می‌توان بر حسب LP- نرم به صورت:
بیان کرد که در آن F(A,x) نسبت به A روی Rn و نسبت به x روی [a,b] تعریف شده است.
توجه داشته باشید که می‌توان عبارت
را تابعی مانند تلقی کنیم که فقط به A بستگی دارد.
پس می‌توان مسأله تقریب را به عنوان یک مسأله مینیمم سازی غیر مقید وابسته به n متغیر an,...,a1 در نظر گرفت.
بنابراین، J فقط باید نسبت به این متغیرها مینیمم شود.
در نتیجه، با حل مسأله مینیمم سازی بالا امکان حل تقریبی معادله انتگرال وجود دارد.
برای مطالعه درباره جزئیات این فن (و از جمله آنالیز ریاضی) مراجع [19] , [18] تالیف De Klerk را ببینید.
در این مرحله دو تفسیرزیر ضروری اند:
مقادیر مخلتف P را می‌توان مورد استفاده قرار داد.
برای مثال به ازای P=1 مسأله منجر می‌شود به مسأله کمترین قدر مطلق و به ازای P=2 مسأله منجر می‌شود به مسأله کمترین مربعات.
دلیلی وجودندارد که مقادیر مثبت دیگر P را در نظر نگیریم.
حالت P=2 را بیشتر می شناسیم، در حالی که حالت P=1 کمتر آشناست.
بنابراین احساس می‌شد که این حالت باید حاوی چالش های عددی جالبی (در رابطه با قدر مطلقی که در انتگرالده ایجاد می شود) باشد.
توجه داشته باشید که خطی یا غیر خطی بودن انتگرالده بالا نسبت به A بستگی به تابع تقریب F(A) و هسته K دارد.
در روش عددی ای که در اینجا مورد بحث قرار می‌گیرد تمایز خاصی بین خطی یا غیر خطی بودن قائل نمی‌شویم.
3- شیوه عددی و مثال ها : فن عددی در اصل از دو شیوه عددی تشکیل شده است، یعنی شیوه مینیمم سازی و شیوه انتگرال گیری.
مینیمم سازی با استفاده ازیک الگوریتم استاندارد بهینه سازی انجام می‌گیرد.
الگوریتم UMPOL در IMSL Library که بر پایه روش «سیمپلکس داون هیل» از نلدر و مید (به مثال [37] تالیف Press مراجعه کنید)، که گر چه زیاد سریع نیست اما این مزیت را دارد که بسیار قوی است و به مشتق گیری ها نیازی ندارد.
در واقع ماشین سر به زیری است که معمولاً مقدار مینیمم یک تابع را به درستی می‌یابد .
همچنین De Klerk در [20] متذکر شده است که روش لووس- جاکولا [34] نیز روشی قوی است که به مشتق گیری ها نیازی ندارد و بررسی بیشتر جواب هایی که با بهره گیری ازاین روش بدست می آیند را مفید دانسته است.
انتگرال گیری عددی با استفاده از فن کوادراتور اتوماتیکی که ونتر و لاوری [3] با یک انتگرالده به صورت g(|f(x)|) آورده اند، انجام می‌شود.
برای بدست آوردن این شیوه این محققین رویه انتگرال گیری تطبیقی استاندارد QAGE را تغییر داده اند (از QUAD PACK تالیف [35] Piessens ).
در حین فرایند انتگرال گیری، با استفاده ازمقادیر موجود برای تابع، صفرهای تابع پیدا می‌شوند که از آنها (صفرهای تابع) به عنوان نقاط تقسیم در انتگرال گیری استفاده می‌کنیم.
در [20] ذکر شده است که ونتر ولاوری این روش را با موفقیت بالایی امتحان کرده اند، همچنین در پایان نامه دکتری ونتر نیز از بکارگیری این روش نتایج خوبی بدست آمده است [8].
De Klerk در [18] نتایج رضایت بخشی را با استفاده از این استراتژی تقریب بدست آورده است.
بر خلاف بسیاری روش های دیگر، با استفاده از روشی تقریبی نظیر روش یاد شده، در ساختن جواب نیز آزادی عمل بیشتری داریم (مثلا می توان توابع گویا و توابع مثلثاتی را بکار برد).
با اینکه داشتن تجربه در ارتباط با انتخاب یک تابع تقریب لازم است اما این امر موجب کنار گذاردن روش مذکور نمی شود.
De Klerk با در نظر گرفتن مثال های زیر، برخی از نتایج اصلی سال های گذشته را به بحث می‌گذارد.
مثال (1- ) پارامتر به سمت یکی از مقادیر ویژه مسأله میل می‌کند.
هسته جدایی پذیر زیر را در نظر بگیرید، داریم : که در آن دو مجموعه از توابع مستقل خطی هستند.
در این حالت معادله انتگرال فردهولم به طور کلی یک و فقط یک جواب دارد.
تنها استثنا وقتی است که یکی از مقادیر ویژه هسته را به خود می‌گیرد که در این حالت مسأله جواب ندارد (Tricomi [9]) .
مثال بعد کارایی فن مذکور را نشان می‌دهد.
معادله انتگرال فردهولم نوع دوم زیررا در نظر بگیرید.
مجموعه در نتیجه باید پارامترهای a0, .., a3 را به گونه ای محاسبه کنیم، که مینیمم شود.
مقادیر ویژه این مسأله (تا شش رقم اعشار) عبارتند از: -12.928203 و 0.928203 با استفاده از روش L1- تقریب و متمایل شدن به سمت 0.928 نتایج زیر بدست می آیند.
بنابراین الگوریتم، جواب این مسأله را حتی در حالتی که فقط به اندازه با یکی از مقادیر ویژه تفاوت داشته باشد، بدست می آورد.
اکنون روش حل تحلیلی معادله انتگرال فردهولم نوع دوم ( با هسته تباهیده) فوق را بیان می‌کنیم.
از این معادله داریم: مقادیر ثابت های معلوم را بدست می آوریم.
مقادیر فوق را در دستگاه قرار می‌دهیم.
داریم اگر بنابراین مقادیر ویژه عبارتند از: -12.92820323 = و 0.9282032302 = .
مثال (2- ) معادله انتگرال با یک تکینی نوع کوشی در هسته در این حالت معادله انتگرال (Cuminato [9]) به ازای مورد نظر است و انتگرال به معنای مقدار اصلی تعریف شده است.
معادله انتگرال با فرض برقراری شرط اضافی دارای جواب است.
در مورد این مثال تقریبی که برمی گزینیم گویا است (یعنی غیر خطی).
جواب را می‌توان با یک تابع با قطب های ساده نمایش داد، در نتیجه جوابی عددی در نزدیکی نقاط تکین جواب تحلیلی بدست آورده ایم.
تابع تقریب را به صورت تابع گویای زیر در نظر می گیریم این تابع N=m+n+1 ضریب دارد و نخست تابع باقیمانده زیر را در نظر می گیریم بامحاسبه انتگرال به شکل تحلیلی، و در نظر گرفتن حالتی که m=n=2 ، به تابع باقیمانده می رسیم با: اگر b-a=1 ، می‌توان به نتیجه جالبی رسید.
می‌توان نشان داد (De Klerk[19]) که دنباله به طور یکنوا صعودی است- درحقیقت .
بنابراین برای تعیین ضرایب، A، در بازه ای به طول یک، با بهره گیری از تبدیل ، متغیر را بر متغیر می نگاریم.
در این صورت مسأله LP- تقریب به تبدیل می‌شود.
با محاسبه مقدار مینیمم مسأله تقریب بالا بهترین نتایج در LP- نرم به ازای مقادیر مختلف P و به ازای انتخاب فوق برای تابع تقریب در جدول (الف) و (ب) داده شده است.
جدول (الف): ضرایب تابع تقریب را محاسبه کرده است.
جدول (ب): مینیمم LP- نرم تابع باقیمانده را محاسبه کرده است.
مثال (3- ) معادله انتگرال با یک تکینی قوی در هسته معادله انتگرال متناهی- قسمت زیر را در نظر بگیرید (Bertram&Ruehr[4]) v یک عد گویا است، اما عدد انتگرال نیست و جواب است.
با تعیین یک جواب تقریبی به صورت مسأله تقریب به صورت زیر در می آید.
استراتژی که در این جا بکار رفته، محاسبه انتگرال درونی با استفاده از کوادراتور گاوس است درنتیجه به ازای K=2 داریم همان طور که به وضوح می بینیم تقریب به خوبی انجام شده و نتایج مثبتی بدست آمده است، که نشانگر همگرایی جواب معادله در حالت v=2 است و جواب می‌باشد.
گر چه برای محاسبه حاصل جمع معادله انتگرال اصلی عملیات بسیاری مورد نیاز است.
4- خطی و غیر خطی بودن : نظر تحلیل گران فدراسیون بین المللی غیر خطی IFNA بر این است که بر روی مسائل غیر خطی تمزکز خاص صورت گیرد.
از این جنبه لازم است دو تفسیر زیر ارائه شود: 1- وجود یکتایی و مشخصات مسأله L1- تقریب برای حالتی که F(A) یک تابع خطی از A باشد، F(A) به شکل زیر است.
که در آن ai ها به ازای i=1,…,n ثابت های مجهول و ها به ازای i=1,…,n توابع پایه هستند، می‌توان نشان داد که تحت شرایط معینی یک جواب یکتا برای مسأله L1- تقریب پیوسته وجود دارد.
در حالتی که F(A) تابعی غیر خطی از A باشد معمولاً نمی توان جوابی به سئوال وجود یا عدم وجود، و یا یکتایی جواب مسأله ارائه داد.
در حالات خاص با برقراری محدودیت هایی بر F(A) ممکن است بتوان در مورد موارد بالا اظهار نظرکرد، گرچه Rice [23] اشاره می‌کند که : می‌توان پرسش فوق را براساس مجموعه ای از مفروضات درباره F تجزیه و تحلیل کرد، اما نتایج نسبت به سایر مسائلی که به طور طبیعی درنظریه تقریب ظاهر می شود، اهمیت چندانی ندارد.
«رایس» با برقراری فرض های یک تحدب و مشتق پذیری اقدام به اثبات یک قضیه تعیین ویژگی برای L1- تقریب غیر خطی کرده است.
2- مقایسه با روش های کالوکیشن و گالرکین بعضی از فنون اساسی تقریب برای حل معادلات انتگرال را بیان می‌کنیم (Jerri[17]): تقریب جواب با یک حاصل جمع جزیی از توابع مستقل خطی یعنی تقریب منجر به یکی از روش های کالوکیشن یا گالرکین می شود.
در این روش ها جواب با برقراری پیش فرض های اساسی بدست می‌آید (برای مثال با این پیش فرض که تابع خطا باید به ازای N مقدار صفر شود یا اینکه تابع خطا بر توابع به ازای K=1,…,N ،عمود باشد.
اساس این روش ها بر ساده کردن معادله انتگرال به یک دستگاه از معادلات جبری با بهره گیری از چند جمله ایهای متعامد است.
البته تابع تقریب کننده ای که در بالا آمد نسبت به مجهولات a1 ,…,aN خطی است.
به محض اینکه نوع دیگری از تابع (برای مثال، یک تابع گویا) بعنوان تابع تقریب کننده انتخاب شود، وضعیت تغییر می‌کند و مسأله موجود غیر خطی خواهد شد.
در این بین Nied[11] ازاین روش بخصوص با انتخاب چند جمله ایهای نوع دوم استفاده کرده است.
هر چند Nied متذکر می‌شود که به سادگی می‌توان نشان داد که به ازای مقادیر بزرگ N دستگاه معادلات بد وضع می شود.
آنچه که بیان شد از نقطه نظر عددی است و از دیدگاه نظریه تقریب اهمیت چندانی وجود ندارد که تابعی که بایدمینیمم شود خطی است یا غیر خطی.
5- نگاهی به آینده : پاسخ دادن به مسائل پیچیده فنی (بحران انرژی، باران های اسیدی، آلودگی محیط زیست وغیره) نیاز به تلاش و همکاری محققین در زمینه های مختلف علمی دارد.
از آنجا که مدل های پیچیده فیزیکی، مهندسی،اقتصادی، اجتماعی، زیست شناسی و پدیده های اکولوژیکی حاکم، اصولاً غیر خطی هستند، این تحقیقات به کاربرد آنالیز ریاضی به ویژه آنالیز غیر خطی مبتنی است.
برای روشن شدن موضوع به مثالی که از زندگی واقعی برگرفته شده است، اشاره می‌کنیم.
توجه داشته باشید که در این مثال، دیگر مانند مثال های گذشته به دنبال نتایج عددی نیستیم، بلکه همان طور که در بالا ذکر شد می خواهیم کابرد آنالیز ریاضی را نشان دهیم.
مثال (4- ) یک مسأله زندگی واقعی (Kaya & Erdogan[1]) در مکانیک انکسار، مسأله یک نوار نامتناهی که روی آن یک شکاف عمود بر لبه‌های نوار وجود دارد بسیار مورد توجه است.
برای تقریب تعدادی از مولفه های ساختاری و نمونه های آزمایشگاهی می‌توان از هندسه یاری گرفت.
فرض کنیم که شکاف (با نقاط انتهایی b,a) به لبه هایی یک نوار نامتناهی با پهنای h عمود باشد.
همچنین فرض کنیم که بر لبه های نوار فشاری وارد نمی شود و شکاف تحت کشش های سطحی به وسیله P(x) است.
بر حسب جابجایی دهانه شکاف مسأله ای که باید حل شود به صورت معادله انتگرال زیر است.
که درآن V(t) باید محاسبه شود.
هسته K(t,x) و کشش P(x) معلوم هستند.
ثابت‌های مجهول هستند، اما با یک فرایند نرمال سازی می‌توان وضعی ایجاد کرد که مسأله ساز نباشند.
با تبدیل بازه [a,b] به بازه [-1,1] معادله انتگرال به شکل زیر در می‌آید با و در ادامه بحث، حالت شکافتگی یال یعنی a = 0 را در نظر می گیریم.
با گزینش یک شکل خاص برای تابع تقریب می‌توان مسأله را تا اندازه زیادی ساده کرد.
بنابراین با برقراری که در آن در حالتی که شکافتگی مرزی، و ui(r) چند جمله ای چبیشف درجه iام نوع دوم است.
مسأله مینیمم سازی برای حل معادله انتگرال به شکل زیر در می‌آید.
که در آن .
همان طور که به وضوح دیده می شود این حالت درست شبیه مثال های گذشته است.
6- نتیجه گیری : بحث را با بیان نظرات زیر پایان می‌دهیم: الف: واضح است که روش مطرح شده را می‌توان برای حل معالات انتگرال به کار گرفت، ازمعادلات انتگرال معمولی و معادلات انتگرال تکین گرفته تامعادلات انتگرال قویاً تکین.
ب: همچنین روش است که روش شرح داده شده را می‌توان برای هر دوی مسائل خطی و غیر خطی مورد استفاده قرار داد- به این معنی که تابع تقریب می‌تواند خطی یا غیر خطی باشد، هسته می‌تواند در تابع مجهول خطی یا غیر خطی باشد.
پ: روش در مورد چند مسأله تجربی همان طور که در مثال (4- ) بیان شد، بکار گرفته شده است.
محاسبه شده عددی y(x),محاسبه شده تحلیلی y(x),0.0000+1.0000x 1.6060+2.8030x 5.8116+11.0251x 20.6588+36.7398x 844.7736+1464.1480xx 1.0606+2.8030x 5.8120+11.0256x 20.6573+36.7371x 844.6970+1464.0151x0.3333 0.8 0.9 0.92 0.928 P=1P=2P=4P=8P=16-0.015901 0.499960 0.009663 0.000199 -0.9525590.000132 0.457612 -0.000090 -0.000002 -0.961707-0.000002 0.405397 0.000001 0.000000 -0.968475-0.057666 0.374331 0.043482 0.000682 -0.971525-0.012619 0.366593 0.009586 0.000144 -0.971796 P=1P=2P=4P=8P=160.0570910.0901400.1384620.1745070.189342 v=2.100: v=2.010: v=2.001:=01.070534x2-0.070367x-0.000 118; =1007281x2-0.007264x-0.000 012; =1.000730x2-0.000729x-0.000 001;مقدار مینیمم مقدار مینیمم مقدار مینیمم=0.051175, =0.004934, =0.000491.