دانلود مقاله فلسفه ریاضی یا فلسفه ریاضیات

فلسفه ریاضیات
فلسفه ریاضی یا فلسفه ریاضیات ، شاخه‌ای از فلسفه است که به بنیادهای وجودی ریاضیات می‌پردازد.

از جمله پرسش‌ هائی که فلسفه ریاضی ، کوشش در پاسخ به آن دارد این‌ها است:
• چرا ریاضی ، در توضیح طبیعت موفق است؟

• وجود داشتن عدد یا دیگر موجودات ریاضی ، به چه معنا است؟

• گزاره‌های ریاضی به چه معنائی صحیح‌اند و چرا؟(ناظر بر منطق و استدلال ریاضی)
بعضی مسائل موجود در دنیای طبیعی را نمیتوان به سادگی حل نمود ولی زمانیکه وارد دنیای ریاضیات میشویم آن مسئله به سادگی حل شده و وقتیکه نتیجه به دنیای طبیعی منتقل میشود کاملأ منطبق بوده به همین دلیل دنیای ریاضیات به سرعت گسترش یافته و در آن دنیاهای دیگری ایجاد شده است.

از جمله دنیای جبر - هندسه - معادلات دیفرانسیل - لاپلاس - انتگرال و ...

حال کافیست که شما بتوانید این المانهای دنیای طبیعی را به دنیای ریاضیات وارد نموده و بلعکس نتیجه را به دنیای طبیعی باز گردانید که این عمل معمولأ توسط علم فیزیک انجام میگردد.

در آغاز قرن بیستم سه مکتب فلسفه ریاضی برای پاسخ‌گوئی به این‌گونه پرسش‌ها به وجود آمد.

این سه مکتب به نام‌های شهودگرایی و منطق‌گرایی و صورت‌گرایی معروف‌اند.

سرنوشت
هر بحث بستگی به سوالهایی بنیادی دارد که در آن مطرح می شود اینجا که بحث در مورد فلسفه ی ریاضیات است پرسش اساسی ما از ریاضیات درباره ی چیستی آن است پیداست مولفی دیگر که در سلسله مراتب قدرت جایگاهش با مولف این متن فرق دارد ممکن است سوال دیگری را بنیادی تر بداند هرچند پیشرفت در این راه به منظور رسیدن به پایان کار نیست بلکه کشف ویژگیهای راه است
ریاضیات چیست ؟

ما این سوال را در مرکز توجه قرار می دهیم وپیرامون آن حرکت می کنیم تا از زوایای مختلف به آن بنگریم.

چیزی که در این میان مهم جلوه می نماید حکومت منطق بر ریاضیاتی است که چیستی اش را نمی دانیمدر اینجا با عملکرد منطق سر وکار داریم و آن باز شناختن درست از نادرست است وچیزی که در اکثر شاخه های ریاضیات راه را تعیین می کند همین گزاره ی درست ونادرست بودن نقیض آنست پذیرفتن گزاره أی درست و ادغام آن با گزاره ی درست دیگر گزاره ی سومی پدید میآورد وریاضیات پیش میرودنیچه در فراسوی نیک وبد می گوید : ((از کجا معلوم که ما نادرست را خواستار نباشیم؟))
این سوال ما را به یاد حرف دیگری ازنیچه می اندازد :
((از نظر ما نادرستی یک حکم دلیل رد ناگزیر آن حکم نیست باید ببینیم آن حکم تا کجا پیش برنده ی زندگی است ))
به عنوان مثال هندسه ی اقلیدسی آنچنان که که باید پیش برنده ی زندگی نبود بنابراین چیزی که تا آن زمان درست بود به نادرست تبدیل شد و هندسه ی هیلبرت جای آنرا گرفت .

این از لحاظ تاریخی!

اما مساله به همین جا ختم نمی شود هیدگر مقایسه بین علم جدید وعلم قدیم را جایز نمی داند او سخن ارسطو ونیوتون وانیشتین هر سه را در مورد حرکت درست می داند به این ترتیب بحث ما باید ریشه ای تر شود باز یاد حرف دیگری از نیچه می افتیم ((دانشمندان جهان را توضیح نمی دهند بلکه تفسیر می کنند))
اینجاست که حرکت ما هم راه دیگری انتخاب می کند والبته برای رسیدن به چیستی ریاضیات سوال دیگری مطرح می کنیم وراه دیگری پیش پای خود قرار می دهیم :
با قطع حکومت منطق از ریاضیات ،آیا دوباره می توان نام ریاضیات بر آن نهاد؟

این سوال به چیستی ریاضیات برمی گرددو اینکه آیا منطق جز’ لاینفک وقسمتی از چیستی ریاضیات است ؟

می پردازیم به تبار شناسی امر مته متیکال و رابطه آن با ریاضیات مته متیکال از واژه ی یونانی گرفته شده که عبارت است از: آنچه انسان در بر خورد با چیزی از قبل در مورد آن می داند مثلا اگر در خانه ی ما پنج صندلی وجود دارد ما اول باید در مورد پنج بدانیم تابفهمیم پنج صندلی وجود دارد یعنی چه!

پس عدد نوع خاصی از امر مته متیکال است دانستن چیزی از قبل ،ما را با ابهام مواجه می کند : کدام قبل ؟

اینکه ما بدانیم عدد چیست به ریاضیات که عدد هم جزئی از آن است جلوه أی دیگر می دهد ریاضیات چیزی است که ما از قبل می دانیم چیست!!

نتیجه ای که ناگهان به ذهن می رسد تا اندازه ای دور از ذهن است پس به سراغ دکتر فون فرانتس میرویم تا جایگاه خود را از نظر روانشناسی ملاحظه کنیم : ((در میان شهود های اولیه ی ریاضی یا مفروضات اولیه ،اعداد طبیعی از لحاظ روانشناسی بسیار جالبند این مفاهیم نه تنها هر روزه در خدمت خود آگاه ، وسیله ی اندازه گیری و شمارش اند بلکه قرنهاست تنها وسیله ی خواندن معنی شکلهای قدیمی پیشگویی مانند نجوم عدد شناسی رمل واسطرلاب بوده اند که همه ی آنها بر محاسبات ریاضی استواراند به علاوه اعداد طبیعی چنان چه از لحاظ روانشناسی ملاحظه شوند باید نمود های کهن الگویی باشند اعداد مفاهیمی نیستند که صرفا به طور خود آگاه برای محاسبه به وجود آمده باشنداعداد محصولات از خود بر آمده ومستقل ناخود آگاه اند مانند سایر نمود های کهن الگویی !)) ملاحظه می کنیم که بر خلاف نظریات فرگه در کتاب مبانی حساب که روش شناسی خود را در سه بخش خلاصه ی کند وجدا نگه داشتن روانشناسی را از منطق یکی از اصول خود می داند ما از امری که منطقی به نظر می رسید به امری روانشناسانه رسیدیم پس به خود اجازه می دهیم که مفهوم اسطوره را در ریاضیات جستجو کنیم اکنون در طی طریقمان به دری رسیده ایم که سالها بسته بود و احتمال می دهیم که بعد از سقراط این در بسته شده باشد .

پس به زمانی می اندیشیم که این در باز بوده پیشنهاد هیدگر اینست که باستانی بیندیشیم نه اندیشمندانه راه درست راهی است که ما را به آغاز ها می برد به دوره ای که انسان با عشق وشگفتی با جهان روبرو شد .

فیثاغورثیان به عددها جنسیت می داده اند عددهای نر وعددهای ماده ، عدد ده را مقدس می دانسته اند و با مثلث متساوی الساقین نمایش اش می داده اند و اصلا ریاضیات را به عنوان بک دین پذیرفته بودندبدیهی است چیزی که به عنوان دین پذیرفته می شود باید جوابگوی نیازهای روانی باشداینها از منطقی که در ریاضیات به ظاهر محکم حالا هست پیروی نمی کنند چیزی که بر ریاضیات باستان حکومت می کرد اسطوره بود با نگاهی گذرا خواهیم دید که اکثر ریاضی دانان باستان حتی قبل از فیثاغورث شاعر بوده اند .

حال با نظری روانشناسانه به باورهای فیثاغورثیان نگاه می کنیم مثلثی که نماینده ی عدد ده است وقتی با مثلث دیگری با همین شکل متداخل می شود شکلی پدید می آورد که یانترا نامیده میشود که گاهی به آن ستاره ی داوود هم می گویند از لحاظ سمبولیسم این طرح نمودار اتحاد اضداد است ،اتحاد خود آگاهی و ناخودآگاهی .

یا عدد هفت که از سه بعلاوه ی چهار تشکیل شده سه نماینده ی عنصر مردانه وچهار نماینده ی عنصر زنانه که تداخل این جنسیت ها و رسیدن به یک موجود دوجنسی یا بی جنس هدف اکثر ادیان است که نمونه های آنرا می توان دراسطوره ی زروان هرموفرودیتوس یا بوف کور صادق هدایت یافت اگر قبول کنیم که عدد بخشی از ریاضیات است پس توانسته ایم از زاویه ای به ریاضیات نگاه کنیم که در آن حکومت منطق زیر سوال می رود پس جایگاه منطق جایگاه لاینفکی در ریاضیات نیست راه را در همین مسیر ادامه می دهیم دیدیم که ریاضیات از منظر ما به ادبیات بسیار نزدیک شده است حال می خواهیم خواص ادبیات را در ریاضیاتی که از این زاویه می بینیم جستجو کنیم مثلا می توانیم زبان ،زیبایی شناسی ، جایگاه حقیقت و…را مورد بررسی قرار دهیم در یک کلام ریاضیات به مثابه ی هنر برای این کار باید ساختاری را که ریاضیات به مثابه ی علم در ذهن ما حک کرده شکسته فرض کنیم به عنوان مثال اگر تا به حال عدد برای محاسبه به کار می رفت با این نگرش عدد می تواند برای اتکا باشد ومنظور از اتکا همان چیزی است که تا به حال از عدد انتظار نداشته ایم اینجا ذهن ریاضی ما واکنش نشان می دهد و می خواهد مثل وقتی که دو را با دو جمع می کند حالا هم نتیجه را عریان کند اما وقتی پذیرفتیم با اتکا به عدد دو و آوای دو و تکرار دو می توان قسمتی از زمان را پوشاند ،ذهنیت منطقی ما در این باره انگار شکسته شده به این ترتیب ممکن است به ریاضیاتی بر بخوریم که کاملا متفاوت با ریاضیاتی باشد که الان داریم .

توجه شما را به قسمتی از شعر ضیا موحد جلب می کنم که ریاضیات در آن موج می زند: غراب به هفت دریا هم پر اگر بشوید سیاه است غراب سفید اگر هم باشد همان سیاه است همان سیاه سیاه سیاه ابتدا از لحاظ منطق ریاضی به این گزاره ها نگاه می کنیم (غراب سیاه است ) راp می گیریم نقیض این گزاره با توجه جملات شعر (غراب سفید است )میشود می بینیم که ~p آنگاه p که تا کیدی است بر سیاهی غراب.

اما ارسطو آنرا تناقض دانست و با منطق جمله ها این امر به سادگی حل شد اما اینجا چیز دیگری مطرح است همان چیزی که ما آنرا در این تبدیل حذف کردیم .

ما جوهر هنر را در این تبدیل حذف کردیم همان کاری که در ریاضیات سالهاست بدان مشغولیم در اینجا با اتکا به اعداد هفت در هفت دریا وسه در سه بار به کار بردن کلمه ی سیاه دقیقا کاری را از عدد کشیدیم که در ریاضیات به مثابه ی علم آنرا انجام نمی دهیم .

پس به وسیله ی اعداد وحروف وجوهر هنر توانستیم قسمتی از زمان را بپوشانیم (والبته پوشاندن زمان واصلا خود زمان همان است که بسیار سوال است ) در مثال بالا اجزای تشکیل دهنده ی شعر را تا قسمتی بر شمردیم و وقتی منطق وراهکار های زبانی را به یک سو می نهیم افقهای دیگری در ریاضیات به مثابه ی هنر پیش چشم ما نمودار میشود افقهایی که ابتدای آنها در حروف واعداد واشکال نمودار می شود می بینیم که وقتی از ریاضیات به مثابه ی هنر حرف می زنیم خود به خود حالت خشک منطقی که در اوایل مقاله بود جای خود را به گزاره های چند پهلو می دهد و هر چه ابهام ما در این زمینه بیشتر شود موفق تریم زیرا دیگر ما به دنبال حل بی چون وچرای یک قضیه نیستیم بلکه ایجاد ابهام در هر قضیه برای ما مهم می شود.

شک و تردید مولد علوم جدید جورج کانتور: جوهره ریاضیات درآزادی نهفته است.

منطقهای غیرارسطویی در کشف و پیشرفت علمی سهم بزرگی دارند.

وقتی ازاینشتاین سئوال شد چگونه تئوری نسبیت را اختراع کردی پاسخ داد : یک اصل علمی را مورد سئوال وکاوش قرار دادم.

هامیلتون وکیلی بنداشت جابجایی ضرب رامورد تردید قرار دادند.

خواجه نصیرطوسی، لباچفسکی وبویوئی اصل توازی اقلیدس رامورد سئوال قراردادند.

کپرنیک این اصل را که زمین مرکز منظومه شمسی است مورد تردید قرارداد.

گالیله سقوط سریع اجسام سنگین را مورد تردید قرارداد.

بررسی سه بحران ریاضی بحران اول: زمان : قرن پنجم قبل ازمیلاد منشا بحران : کمیتهای هندسی نامتناسب رفع بحران : 370 سال قبل ازمیلاد توسط ادوکسوس تلاشی دیگردرراستای رفع بحران : 1872 ریچارد ددکیند نتیجه تاریخی : ابطال نظریه فیثاغورثیان درباب کمیتها بحران دوم : زمان پیدایش بحران : اواخرقرن هفدهم منشا بحران : کشف حساب دیفرانسیل وانتگرال توسط نیوتن ولایپ نیتز موضوع بحران : تناقض و پارادوکسها درمفاهیم مشتق و نمومتغیرونسبت تغییرنموبه رشد مفاهیم مبهم : کمیتهای بینهایت کوچک، سریهای نامتناهی ، توان صفر تلاش برای رفع بحران کارل وایراشتراوس : مقابله با شهودهندسی درآنالیز با ارائه تابعی همه جا پیوسته وهیچ جا مشتق پذیر لئونارد اویلر: وضع فرمولگرایی درآنالیز دالامبر: وضع قانون مبانی آنالیز جوزف لویز لاگرانژ : بسط تابع به سری تیلور گاوس : طرح استانداردهای منطقی آنالیزوطرح سریهای ابرهندسی آگوست لویوئی : وضع مفاهیم اتصال مشتق وانتگرال معین به شیوه ای نوین ریمان: ارائه انتگرال ریمان بحران سوم : زمان پیدایش بحران : 1897 و 1902 ویژگی : عدم رفع کامل بحران زمینه بحران : پارادوکسهای موجود درتئوری عمومی مجموعه های کانتور ظهوراولین پارادوکس : 1897 توسط برالی فورتی در تئوری مجموعه ها ظهوراولین پارادوکس : 1898 توسط کانتور در تئوری مجموعه ها مشابه پارادوکس برالی فورتی ظهوردومین پارادوکس : 1902 توسط برتراند راسل در تئوری مجموعه ها در خصوص مفهوم مجموعه تلاش برای رفع بحران 1908 زرملو 1918 هرمان وایل فرا نکل اسکولم فن نویمان برنانز تئوری پنداشتی اعداد حقیقی : اواخرقرن نوزدهم پاسخی برای حل بحران دوم قدمی برای فهم حساب دیفرانسیل وانتگرال راهی بسوی منطق گرایی سابقه تاریخی : بابلیان، هندیان وایرانیان بابلیان : معرفی نماد صفر هندیان : معرفی نماد صفر ایرانیان : توسعه جبر