دانلود مقاله ریاضی

برای محاسبه اعداد y Betti را محاسبه کنیم، از هومولوژی (همگون سازی) ساده شده استفاده می کنیم.

یک بردار غیرمربع را برای یک بردار با مدخلش در {0,1} تعریف کنید.

بگذارید M یک ایدهآل تک جمله ای باشد و
{بردارهای غیرمربعc مانند

این مجموعه بالایی ساده شده کوزل M مثلا در (12) تعریف شده است.

ما میتوانیم اعداد بتی درجه Nn مربوط به M را با نسبت از (تئوری 34-1) محاسبه کنیم.

جمع کردن تمام b های غیرمربع بادرجه j و Bij(M) را به دست میدهد.

یا نشان می دهیم که ، که ثابت می کند J یک تجزیه خطی ندرد (وقتی .

یگ بردار غیرمربع واحد ،مرتبط با درجه b=(1,…,1) , 2r+1 وجوددارد که به حداقل مربوطند.

در اینجا یک مجموعه زنجیره ای داریم
در زیر ، ما باید از نکته پایین استفاده کنیم: اگر یک بردار با مدخل هایی در {0,1} مربوط به صورتی در مجموعه ساده شده مان باشد،غالبا باید صورت را به صورت بنویسیم، که در آن jt دقیقا مدخل های غیرصفر مربوط به می باشد و
تمامی صورت هایی که با آنها کار می کنیم، حداکثر دو بعد دارند .ما صورت ها را به نحوی میگردانیم که اگر را در مسیر مثبت و رادر جهت منفی قرار دهیم.

به طور مشابه ما خطوط را به نحوی هدایت میکنیم که رفتن از xi0 به xi1 در جهت مثبت باشد.

برای یافتن ، ما نیازمند حساب کردن هستیم.

اگر بتوانیم عنصری در ایجادکنیم که در نباشد، نشان داده ایم.

که .

ما باید به پوشش های رئوس وتک جمله ای مرتبط پایین به صورت متغیر رجوع می کردیم.

نخست فرض کنید که 2r+1>v ،ما حالت 2r+1=v را به طور جداگانه انجام می دهیم.

ما نخست ادعا می کنیم که .

اگر بود ،پس باید یک پوشش راس حداقل وجود داشته باشد که آن را تقسیم کرده باشد.

اما بعد را تقسیم می کند چون وجود ندارند.

برای پوشاندن خطوط9-27 باقی مانده ای که پوشانده نشده اند حداقل به رئوس 4-r نیازمندیم.

این یعنی اینکه درجه ،اما همه پوشش های رئوس حداقل وبنابراین حداقل تولید کننده های j درجه r+1 دارند.

(توجه کنیدکه وقتی 2r+1=9 ، حداقل تولید کننده های J درجه 5 دارند ، و درجه 6 دارند.بنابراین بعد نشان میدهیم که در J هستند.

برای اثبات این امر باید نشان بدهیم که یک پوشش راس حداقل هر یک از این تک جمله ای ها را تقسیم می کند.

درنخستین حالت از استفاده کنید ؛ در دومی عمل می کند.

و در آخری از استفاده کنید.

بنابراین خطوط هستند، اما صورتی از نیست.

بنابرین در تصویر وجود ندارد.

البته ،
بنابراین f در قسمت است و سپس J یک تجزیه خطی ندارد.

وقتی 2r+1=7 مباحث کمی متفاوتی نیاز داریم.

یک فرد می تواند حساب کند که در این حالت ،دوگانگی الکساندر به صورت زیر است.

و تجزیه آزاد حداقل درجه را دارد:
بدلیل جفت دوم دردرجه هفتم، یک تجزیه خطی ندارد.

بنابراین G به ترتیب کوهن-مکوالی نیست.

نکته 2-4-قضیه 1-4 مستقل از خاصیت K است.توجه کنید که اگر k ویژگی اولیه داشته باشد،اعداد درجه بندی شده بتنی R/J مانند حالت در صفر هستند یا بالا می روند، به این دلیل است که رفتار برای بعد گروه های هومولوژی که ما حساب کرده ایم، یکسان است.

ابعاد گروههای هومولوژی در ویژگی p>0 با حالت صفر یکسان هستند یا ممکن است اگر یک قسمت پیچش p معرفی می شود، افزایش یافند.

برای نمونه ، قسمت پایانی بحث ضرایب جهانی را در فصل 9و13 ببینید.

بنابراین برای تمامی حالت های k داریم
حالت 5 دایره ای نشان میدهد که عکس فرضیه 2-3 نادرست است .گراف های غیروتری بسیاری هستند که به ترتیب کوهن-مکوالی می باشند.

ما اینجا دونمونه ساده می آوریم تا نشان دهیم که تغییرات کوچک در گرافی که به ترتیب کوهن-مکوالی نیست میتواند گرافی را به دست بدهد که چنین ویژگی را داراست.

مثال 3-4-G را در 4-دایره در نظر بگیرید و H را گراف G با یک راس پنجم که توسط یک خط واحد به G متصل شده است فرض کنید.بنابراین , با توجه به قضیه 1-4-، G به ترتیب کوهن-مکوالی نیست.دوگانه الکساندر اینگونه است: چک کردن این که خطی و هم جهت مولفه است راحت است چون عملگر واحدی در درجه 2 ونظم 3 دارد.

بنابراین H به ترتیب کوهن-مکوالی است.

مثال 4-4- به عنوان یک مسئله کمی پیچیده تر، فرض کنید که G یک 6 دایره است و ماگراف H را با اضافه کردن یک راس هفتم واتصال آن به دو راس مجاور G به دست می آوریم.

بنابراین : وهمچنین: یک فرد می تواند در ملکوالی 2 چک کند که خطی و به جهت مولفه است ،پس H به ترتیب کوهن-ملکوالی بودن خارج قسمت ها توسط ایده آل های تک جمله ای با تو جه به Daral [2] سود می برد.

به خاطر بیاورید که یک عنصر و جایی که یک مجموعه ساده شده است، یک صورت نامیده می شود.

بعد صورت F ، است.

بعد در نتیجه می باشد.

ما می نویسیم ،تا زیر مجموعه که صورت های بیشینه اش (صفحات ) تمامی صورت هایی بعد I هستند را نشان دهیم.

فرضیه 5-4 ] 2، فرضیه 3-3[ .I را یک ایده آل تک جمله ای غیرمربع فرض کنید و را مجموعه ساده شده تعریف شده توسط I از طریق تناظر استنلی، رسیند در نظر بگیرید.

تا را زیر مجموعه I بعدی خالص در نظر بگیرید.

پس R/I به ترتیب کوهن-مکوالی است اگر وتنها اگر هر کوهن –مکوالی باشد.

ما همچنین به تعریف زیر نیازمندیم: تعریف 6-4- اگر مجموعه ساده شده ای از بعد d-1 باشد پس بردار f در جایی که fi تعداد صورت های بعد I است (جایی که .

اگر سری های هیلبرت –پوینکر باشد، در نتیجه بردار به صورت است.

تکمیل یک گراف G که با نشان داده شده است.

گرافی است با مجموعه رئوسی یکسانی چون G ، اما با مجموعه خط فرضیه 7-4-G را به عنوان یک گراف ساده در نظر بگیرید.

H2 را مجموعه رئوس جدای Gc و در نظر بگیرید (پس ،اتحاد غیر متصل است).

اگر در نتیجه به ترتیب کوهن-مکوالی نیست.

اثبات.

چون یک ایده آل تک جمله ای غرمربع است، همچنین با یک مجموعه ساده شده از طریق تناظر استنلی – رسیند مرتبط است.

به ویژه ، است جایی که یک مجموعه گروه مرتبط با است.بگذارید زیر مجموعه 1بعدی خالص را نشان دهد.حالا به سادگی اسکلت است که یعنی این یک گراف می باشد.

به طور مشخص، چون یک گراف است، بردار f به صورت است.

با استفاده از نسبت بین بردارهای F و h همان طور که در صفحه 56 کتاب استنلی داده شده است داریم: اگر ، در نتیجه یک ترتیب نیست (تمام مقادیر باید مثبت باشند).پس توسط (نتیجه پیامد 2-3) کوهن –مکوالی نیست چون بردار h یک حلقه کوهن-مکوالی استنی –رسیند باید یک ترتیب 0 باشد.

بنابراین با توجه به فرضیه 5-4، به ترتیب کوهن-مکوالی نیست.

مثال 8-4-نتایج بالا توجیهی دیگر برای این است که چرا 4-دایره به ترتیب کوهن-مکوالی نیست.

چون ، گراف دو خط دارد، اما 4 راس دارد، پس نمی تواند به ترتیب کوهن مکوالی باشد چون