دانلود تحقیق ریاضی (نامعادله، مثلثات و ...)

نماد علمی:
نماد علمی مدلی جدید برای عدد نویسی است که از آن برای سهولت بخشیدن به امر نوشتن و خواندن اعداد بسیار بزرگ و یا بسیار کوچک مانند محاسبه جرم سیارات و یا یک اتم از عنصر، استفاده می کنند.

نماد علمی اعداد مثبت را به صورت می نویسند که در آن K عددی است اعشاری بین یک و ده و n نیز عددی صحیح است.

مثال: اعداد زیر را به صورت نماد علمی بنویسد.

(الف (ب
نامعادله:
اگر یک نامساوی شامل متغیر باشد به آن نامعادله گفته می شود.

روش حل نامعادله:
حل نامعادله از بسیاری جهات شبیه حل معادله می باشد، ولیکن با این تفاوت که در حل نامعادله برای مجهول محدوده ای به عنوان پاسخ (جواب) بدست می آید و در معادله یک مقدار مشخص و معینی برای مجهول حاصل می گردد.

:مثال
قوانین و نکات مهم در مورد نامساوی
1-به طرفین یک نامساوی می توان عددی را اضافه و یا کم نمود.

2-می توان طرفین یک نامساوی را در عددی مثبت ضرب یا بر آن تقسیم کرد.

3-اگر طرفین یک نامساوی را در یک عدد منفی ضرب (تقسیم) کنیم جهت نامساوی عوض می شود.

4-اگر طرفین یک نامساوی هم علامت باشند (مثبت یا منفی باشند) و طرفین را عکس کنیم.

جهت نامساوی عوض می شود.

حل نامعادلات کسری:
برای حل نامعادلات کسری مانند معادلات گویا عمل می کنیم.

یعنی دو طرف نامعادله را در کوچکترین مضرب مشترک مخرجها ضرب می نمائیم تا نامعادله از حالت کسری به خطی درآید.

نامعادلات توأم: این گونه نامعادلات یا بصورت دو نامعادله مجزا می شوند و یا اینکه ما باید آنها را به صورت دو نامعادله مجزا درآوریم.

و روش حل آن بدین صورت است که هرکدام از نامعادلات را حل نموده و در نهایت بعد از بدست آوردن پاسخ آنها، اشتراک جوابهای آن دو را به عنوان جواب یا پاسخ اصلی بیان می کنیم.

مثال: نامعادلات توأم زیر را حل نمائید.

مثلثات
درجه (D): اگر یک دایره را به 360 قسمت مساوی تقسیم کنیم؛ به هر قسمت یک درجه گویند.

گراد (G): اگر یک دایره را به 400 قسمت مساوی تقسیم کنیم؛ به هر قسمت یک گراد گویند.

رادیان (R): یک رادیان زاویه ای است که کمان مقابل به آن برابر شعاع دایره باشد.

یعنی هر دایره رادیان است.

رابطه مقابل برقرار است
مثال 1:
100 گراد چند درجه و چند رادیان است؟

مثال 2:
مقدار زاویه ای را بر حسب رادیان بیابید که اگر به اندازه اش بر حسب درجه 15 واحد اضافه شود اندازه آن برحسب گراد بدست آید.

نسبتهای مثلثاتی:
برای بدست آوردن نسبتهای مثلثاتی، یک زاویه را با جهت مثبت محور xها درنظر می گیریم.

و آنها را به صورت پائین تعریف می کنیم.

«باید توجه داشت که نقطه A نقطه یا اختیاری برروی ضلع زاویه است و طول پاره خط OA برابر r فرض شده که همواره مثبت است»:
نتایج زیر از تعاریف فوق حاصل می شود: مسبتهای فرعی: سکانت کسکانت بدست آوردن نسبتهای مثلثاتی چند زاویه خاص 1) صفر درجه: تعریف نشده 2) 30 درجه: 30 فصل مقابل به زاویه نصف وتر است.

3) 45 درجه: 45 4(60رجه: 60 5(90 درجه: 90 6(120 درجه: 120 7) 190 درجه: 8) 210 درجه: رابطه بین نسبتهای مثلثاتی: در زوایائی که متمم همدیگر هستند سینوس یکی کسینوس دیگری است و کسینوس یکی سینوس دیگری است.

همچنین تانژانت یکی برابر کتانژانت دیگری و کتانژانت یکی برابر تانژانت دیگری است.

در زوایایی که مکمل همند سینوس هر دو برابر است ولی در سایر نسبتها قرینه هم هستند.

جدول نسبتهای مثلثاتی چند زاویه اتحادهای مثلثاتی مثال: اتحادهای مثلثاتی زیر را اثبات نمائید: (الف طرف اول طرف دوم (ب :راه اول :راه دوم (ج طرف دوم طرف اول (د :طرف اول تقسیم می کنیمطرفین را بر دایره مثلثاتی: دایره ای است به شعاع واحد که در آن محور افقی.

محور کسینوس ها و محور عمودی.

محور ها است.

جدول تغییرات سینوس و کسینوس: مماسی که در نقطه A در دایره مثلثاتی رسم می شود محر تانژانت و مماسی که در نقطه B در دایره مثلثاتی رسم می شود محور کتانژانت هاست.

جدول تغییرات تانژانت و کتانژانت: مثال: اگر حدود تغییرات نسبتهای مثلثاتی را بیابید.

مثال: ثابت کنید عبارت زیر به x بستگی ندارد.

مثال 3: اگر باشد مقدار صفحه بعد را بدست آورید.

مثال: اگر و در ربع چهارم دایر مثلثاتی قرار داشته باشد سایر نسبتهای مثلثاتی را بدست اورید.

مثال 5: اگر و انتهای در ناحیه دوم باشد سایر نسبتهای مثلثاتی را بیابید.

مثال 6: از روابط زیر زاویه را حذف کرده و رابطه ای میان x و y بیابید.

(الف راه دوم: (ب (ج مثال 7: اگر حاصل را بیابید.

مثال 8: نسبتهای مثلثاتی درجه را بیابید.

همان نسبتهای مثال 9: اگر و حاصل را بدست آورید.

مثال 10: اتحادات مثلثاتی: (الف (ب سهمی: نمودار را یک سهمی می گویند.

ساده ترین معادله سهمی است که از طریق نقطه یابی به شکل زیر خواهد بود.

سهمیهائی که در آن درجه x، 3 و درجه y، 1 است را سهمی قائم گویند.

شکل دیگر معادله ی سهمی به آن فرم استاندارد می گوئیم به شکل زیر است: که در آن به رأس سهمی و به خط محور تقارن گویند.

مثال 1: نمودار منحنیهای زیر را رسم کرده.

رأس آنها و محور تقارن آنها و محل تلاقی آنها با محور مختصات را بدست آورید.

(1 محور تقارن هاx محل تلاقی با محور هاy محل تلاقی با محور محل تلاقی مثال 2: نمودار سهمیهای زیر را رسم کنید: (1 (2 (3 (4 (5 (6 (7 (8 مثال 3: با توجه به این که رأس سهمی نقطه می باشد رأس سهمی زیر را بدست آورید.

نکته: در سهمی رأس از طریق زیر بدست می آید.

نکاتی در مورد سهمی ها: سهمی هنگامی «مینیمم» دارد که مقدار ضریب آن مثبت باشد و هنگامی «ماکزیمم‌» دارد که ضریب آن منفی باشد.

مثال 1: تعیین کنید سهمی زیر ماکزیمم دارد یا مینیمم؟

راسش را یافته و آنرا به شکل استاندارد تبدیل کنید.

ماکزیمم دارد 1- مثال 2: نمودار منحنی زیر محور xها را در چند نقطه قطع می کند.

مثال 3: تعداد جوابهای دستگاههای زیر را بدست اورید.

تعداد جوابهای هر دستگاه برابر است با تعداد نقاط تلاقی سهمیهای مربوط با محور xها که برابر است با 1 و 0.

اگر دستگاهها را به طریقه معمولی نیز حل کنیم به همین جواب می رسیم.

در حالت کلی ریشه های معادله عبارتست از تعداد نقاط تلاقی منحنی با محور xها.

معادله ی درجه اول: معادله: هرگاه رابطه یک متغیره فقط به ازای یک یا چند مقدار مشخص برقرار باشد.

برابری مذکور را یک معادله می گویند.

اعداید که به ازای آنها برابری برقرار باشد ریشه های معادله هستند که هدف از حل معادله هم یافتن ریشه های آن می باشد.

مثلاً رابطه یک معادله است که برای تعیین ریشه های آن به طریقه زیر عمل می کنیم: معادله ی درجه اول: اگر رابطه پس از انجام اعمال لازم به صورت درآید معادله درجه اول بوده و ریشه آن است.

دو معادله هم ارز: دو معادله و را هم ارز گویند هرگاه اولاً بر حسب x.

هم درجه باشند و ثانیاٌ مجموعه جواب آنها یکی باشد.

مثلاٌ دو معادله مقابل هم ارزند: که مجموعه جواب یکی در دیگری صدق می کند و بالعکس.

نکته: معادله های درجه اول و در مجموعه اعداد حقیقی هم ارزند؛ هرگاه: بحث در وجود ریشه معادله درجه اول: برای معادله خواهیم داشت.

1)حالت اول: با شرط معادله ما جواب دارد.

2)حالت دوم: با شرط معادله غیرممکن.

ممتنع یا نشدنی است.

3)حالت سوم: با شرط معادله مبهم می باشد.

اتحاد است.

مثال 1: در باره معادله بحث کنید.

حالت 1) با شرط جواب دارد: حالت 2) با شرط و ممتنع حالت 3) با شرط مبهم مثال 3: معادله زیر را حل کنید: قابل قبول معادله درجه دوم: مقدمات: حوزه تعریف: مقادیری از متغیر که به ازای عبارت تعریف شده باشد حوزه تعریف می گویند و آن را برای عبارتی مانند f(x) با Df نمایش می دهند.

مثال: حوزه تعریف عبارات زیر را پیدا کنید.

(1 (2 (3 (4 مجموعه جواب: به زیر مجموعه ای از حوزه تعریف کرد که ریشه های معادله در آن قرار داشته باشد.

مثلاٌ مجموعه جواب معادله مجموعه می باشد.

در حالت کلی هر معادله درجه nام را به صورت عمومی زیر نمایش می دهند.

که در آن ضرایب تا اعداد حقیقی می باشند.

به ازای معادله به شکل درمی آید که برای سادگی معادله درجه دوم را به فرم نمایش می دهند که در آن روشهای حل معادله درجه دوم: معادله درجه دوم را در نظر گرفته؛ ظروف سمت چپ را و حاصلضرب عوامل اول تجزیه می کنیم.

عبارت تجزیه شده را (در صورت امکان) می نامیم.

خواهیم داشت: ریشه های معادله مثال: معادلات زیر را با استفاده از روش فوق حل کنید: (الف (ب (ج * روش جبری حل معادله درجه دوم: ابتدا معادله را در a4 ضرب کرده و سپس به طرفین مقدار 2b را می افزائیم.

خواهیم داشت.

واضح است که قبول بودن این جواب بستگی به علامت عبارت دارد.

عبارت مذکور را که مبین معادله می نامند؛ با حروف یونانی دلتا نمایش می دهند.

خواهیم داشت: معادله دو ریشه حقیقی دارد.

معادله ریشه مضاعف دارد.

معادله ریشه حقیق ندارد.

مثال 1: معادلات زیر را حل کنید.

(1 (2 (3 معادله جواب ندارد.

(4 مثال 2: در وجود یا عدم وجود ریشه های معادله بحث کنید.

دو ریشه حقیقی دارد ریشه مضاعف دارد معادله ریشه حقیقی ندارد تعریف نشدهتعریف نشدهتعریف نشده نسبت↗1-↘↘1↗1↘↗1-↘↘1 نسبت↗↗↘↗↘↘↘↘ X011-22-y01144 X23y14 X0122-y1-033 X01y1-2 X011-y01-3 X01+2+1-2-y01-4-1-4- X0122-1-y212-2-1+ X01-y03- X011-y044 X11-y