جبر روی کاغذ شطرنجی
با وجودی که از عمر این مسئله تصاعد پنجاه قرن می گذرد در مطالب درسی مدارس در زمان نسبتاً جدید عرض اندام نموده است.
در کتاب درسی ماگنیتسکی که دویست سال قبل به چاپ رسیده و طی نیم قرن نقش راهنمای اساسی تعلیمات دبستانی را ایفا کرده بود گرچه موضوع تصاعد در ج گردیده ولی فرمول های عمومی که مقادیر وارده را بهم مرتبط سازد در آن وجود نداشت.
و خود تدوین کننده کتاب درسی نیز به آسانی از عهده این مسایل برنمی آمده است.
ولکن فرمول مجموعه جمله های تصاعدی حسابی را بآسانی می توان به یک شیوه ساده و عینی به کمک کاغذ شطرنجی استخراج کرد.
روی چنین کاغذی، هر تصاعد حسابی بصورت یک شکل پلکانی نمایش داده می شود.
بطور مثال، شکل ABCD رد شکل 34 تصاعد
2،5،8،11،14
را نمایش میدهد.
برای تعیین مجموعه جملات آن نقشه را تا حصول مستطیل ABGE تکمیل می کنیم.
درنتیجه دو شکل مساوی ABCD و DGEF حاصل می شود.
مساحت هرکدام از آنها، مجموعه جملات تصاعد را نمایش می دهد یعنی دو برابر مجموعه تصاعد، مساوی به مساحت مستطیل ABGE است یعنی:
اما مجموعه جمله اول و پنجم تصاعد را، و AB جملات آنرانمایش می دهد.
بنابراین دو برابر مجموعه: و یا
مسئله: جنبه بامزه چنین نمایش ریاضی عبارت از آن است که خطا در عین سادگی روپوشی شده و به چشم نمی خورد.
دو نمایش از این برنامه کمدی های جبری را اجرا می کنیم.
نمایش اول:
ابتداء در صحنه تساوی مسلم زیر پدیدار می گردد:
در« صحنه» بعدی به هر دو قسمت تساوی مقادیر مساوی علاوه می شود:
جریان بعدی کمدی عبارت از تبدیلات زیر است:
و
از هر دو طرف برابری جذر می گیریم و حاصل می نمائیم:
باعلاوه نمودن به هر دو طرف، به تساوی بی معنی زیر می رسیم:
پس غلط درکجاست؟
حل:
خطا در استنباط زیر رخ داد: از اینکه:
نتیجه گیری شد که:
لکن از اینها مربع ها با هم مساوی اند نباید استنباط نمود که توانهای اول نیز با هم مساوی اند.اگر چه اما مساوی به نیست.مربع ها در صورتی هم میتواند متساوی باشد که توانهای اول دارای علامات مختلف می باشد.
ما در این مثال با همین حالت روبرو هستیم:
ولی مساوی به نیست.
مسئله:
یک شوخی جبری دیگر:
از روی نمونه قبل اجراء می شود و بر همان تردستی مبتنی است.
در صحنه برابری مسلم زیر نمایان می شود:
اعداد متساوی علاوه می شود :
و تبدیلات زیر اجراء می گردد:
و
بعد به کمک همان استنباط غیرقانونی به هدف می رسیم:
،
،
این حالت مسخره آمیز باید ریاضی دان کم تجربه را از عملیات غیرمحتاطانه روی معادلاتی که دارای مجهول تحت علامت ریشه می باشد برحذر دارد.
مسئله:
علاوه بر کمدی های ریاضی که در فصل پنجم از نظر خواننده گذشت یک کمدی دیگر از همانگونه را می آوریم و آن عبارت از« اثبات» نابرابری است.این دفعه، اثبات باعمل لگاریتم گیری مربوط است.کمدی از نامساوی:
که بدون هیچ شک صحیح است شروع می شود بعد تبدیل زیر که باعث هیچگونه شک و تردیدی نیست انجام می شود:
این هم سوءظنی ببار نمی آورد.
با عدد بزرگتر لگاریتم بزرگتر متناظر است یعنی:
بعد ازتحویل به حاصل می کنیم: ،غلط این اثبات در چیست؟
حل: غلط در آن است که در موقع تحویل به علامت نابرابری را به علامت معکوس تغییر ندادیم(علامت< به="" علامت="">) در صورتیکه باید این کار اجراء می شد چون یک عدد منفی است.
اگر عمل لگاریتم گیری را بجای پایه 10 براساس مثبتی میبود لکن آنوقت ما حق نمی داشتیم ادعا کنیم که باعدد بزرگتر، لگاریتم بزرگتر متناظر است.
نمایش هرگونه عدد یا سه دوتایی مسئله: هرگونه عدد صحیح و مثبت مفروض را به کمکک سه دوتایی و نمادهای ریاضی نمایش دهید.
ا بتداءطریقه حل مسئله را روی مثال ویژه ای نشان می دهیم فرض کنیم عد داد شده 3 باشد، در اینصورت مسئله چنین حل می شود: بآسانی از صحت این تساوی مطمئن میشویم.درواقع: اگر عدد5داده می شد ما مسئله را به همان اسلوب حل می کردیم: بطوری که می بینید ما دراینجا ازاین نکته استفاده می کنیم که در ریشه های دوم، نمای ریشه نوشته نمی شود.
حل عمومی مسئله چنین است: اگر عددN داده شده باشد در اینصورت: N مرتبه ضمناً تعداد علامت های ریشه مساوی به تعداد واحدها در این عدد است.