مقدمه‌ای از معادلات دیفرانسیل معمولی»
یک معادله دیفرانسیل معمولی هست رابطهای بین یک تابع و مشتقل های آن و متغیرهای مستقل که به آنها بستگی دارند، فرم کلی از یک معادله دیفرانسیل معمولی عبارتست از (6.1) وقتی که تا مشتق مرتبه m ام تابع y موجود باشد، همچنین y و مشتقاتش تابعی از متغیر مستقل t خواهند بود، مرتبه یک معادله دیفرانسیل عبارتست از مرتبه بزرگترین مشتق موجود در آن، و درجه یک معادله دیفرانسیل عبارتست از درجه مشتق از مرتبه بالا که با دیگر مشتقات رابطه دارد.
اگر بین تابع متغیر y(t) با خودش و یا هر یک از مشتقاتش نتوان رابطه‌ی دقیق را بدست آورد. معادله به یک معادله خطی تبدیل می شود، فرم کلی یک معادله دیفرانسیل خطی از مرتبه m عبارتست از (6.2) که هر کدام از ها توابع شناخته شده ای هستند:
اگر معادله دیفرانسیل غیر خطی (6.1) از مرتبه m را بتوان به فرم (6.3) درآورد آن گاه معادله (6.3) نامیده میشود یک تابع اولیه از معادله دیفرانسیل (6.1) . به این فرم که بالاترین مرتبه مشتق عبارتست از رابطهای بین مشتقات از مرتبه پایین‌تر و متغیرهای مستقل.
«مسائل مقدار اولیه»
یک راه حل عمومی برای یک معادل دیفرانسیل عادی مانند (6.1) هست یک رابطهای بین y و t و m مقادیر دلخواه ثابت، که معادله را مورد قبول قرار می‌دهند در حالی که محتوی مشتقات نمی شود. این راه حل شاید یک رابطه ضمنی به فرم (6.4) یا یک تابع صریح برحسب t به فرم (6.5) باشد.
این m مقادیر دلخواه ثابت می تواند تعیین شود بوسیله شرایط m گانه به فرم (6.6)
در ابتدا نامیده می شود شرایط اولیه؛ نقطه نامیده می شود نقطه اولیه. معادله دیفرانسیل (6.1) به همراه شرایط اولیه موجود در (6.6) نامیده می شود یک مسأله مقدار اولیه.
اگر این m شرایط تعیین شده باشند بوسیله بیشتر از یک نقطه که تعیین کرده‌اند m مقادیر ثابت دلخواه در راه حل عمومی (6.4) در این صورت نامیده می شود شرایط مرزی (کرانی)، معادله دیفرانسیل (6.1) به همراه شرایط مرزی شناخته شده است به عنوان یک مسأله مقدار مرزی.
یک معادله دیفرانسیل (6.3) با شرایط اولیه (6.6) شاید نوشته شود به عنوان یک سیستم معادل (هم ارز) از یک معادله دیفرانسیل مقادیر اولیه به فرم زیر:
که در نشانه گذاری (نمادسازی) برداری شده اند.
که و
بنابراین، روش های حل مسأله مقدار اولیه ابتدایی (6.8) و شاید کاربرد داشته باشد در حل مسائل مقدار اولیه (6. و مسأله مقدار اولیه (6.3) .
مثال (6.1) : تبدیل کنید مسأله مقدار اولیه مرتبه دوم زیر را به مسائل مقدار اولیه مرتبه اول (؟)
؛
حل. قرار می دهیم:
بنابراین: و . و
و
و
و و
و و
مثال (6.2) تبدیل کنید سیستم زیر را از دو معادله مرتبه 3 به یک سیستم با شش معادله مرتبه 1 .
؛
؛
حل. جانشین های زیر را پدید می آوریم: