مثلثات
واژه مثلثات «Trigonomently» در زبان یونانی از دو کلمه «Tplypuoo» و «μεtpov» که به ترتیب «مثلث» و«اندازه‌گیری» هستند، مشتق شده است.
موضوع این رشته از ریاضیات، بررسی روابط اضلاع و زاویه‌های مثلث میباشد.
نمونه زاویه:
زاویه توسط دوران یک خط مستقیم حول یک نقطه ثابت روی آن خط، مرسوم به راس بدست می‌آید.
در این مرحله سه واحد که برای اندازه‌گیری زاویه بکار می‌روند، می‌پردازیم.
الف) درجه ب) گراد ج) رادیان
الف) درجه: یک درجه، زاویه‌ای است که از دوران نیم‌خطی مانند OA حول نقطه O به اندازه 1:360 یک دوران کامل بدست می‌آید.
برای نشان دادن اندازه یک زاویه از علامت o استفاده می‌کنیم.
ب) گراد: یک گراد، زاویه‌ای است که توسط دوران نیم‌خطی مانند OA حول نقطه O به اندازه 1:400 یک دوران کامل بدست می‌آید.
برای نشان دادن اندازه یک زاویه به گراد از علامت gr استفاده می‌کنیم.
ج) رادیان: فرض کنید که در دایره‌ای به مرکز O، OB از دوران حول نقطه O از شعاع OA بدست می‌آید.
به طوری که طول کمان AB برابر با شعاع دایره گردد.
زاویه
دلیل اینکه رادیان نامیده می‌شود، این است که این واحد مستقل از شعاع است، زیرا چنانچه که می‌دانید نسبت محیط دایره به قطر آن، مقداری است ثابت و این مقدار ثابت را به « » نشان می‌دهند.
اگر شعاع دایره L فرض شود، (L بر حسب یکی از واحدهای اندازه‌گیری طول مثلاً متر میباشد)، خواهیم داشت:
محیط دایره =
= محیط دایره = اندازه محیط دایره بر حسب رادیان
طول کمانی برابر با شعاع دایره
بنابراین محیط در دایره رادیان میباشد و یا هر رادیان محیط دایره است.
برای نوشتن اندازه زاویه بر حسب رادیان از علامت اختصاری rad استفاده می‌شود.
تبدیل واحدهای اندازه‌گیری به یکدیگر:
نسبت‌های مثلثاتی یک زاویه:
در دایره مثلثاتی داریم:
در مثلث قائم‌الزاویه OHM داریم:
یادآوری: در مثلق قائم‌الزاویه ABC داریم:
0 کمان تابع مثلثاتی
0 -1 0 1 0
1 0 -1 0 1
0
0
0
0
0
جدول زیر تغییرات نسبت‌های مثلثاتی یک کمان (زاویه) را وقتی از تا تغییر کند، نشان می‌دهد.
روابط بین نسبت‌های مثلثاتی
در مثلث قائم‌الزاویه OHM داریم:
با توجه به تشابه دو مثلث قائم‌الزاویه OAC, OHM داریم:
با توجه به تشابه دو مثلث قائم‌الزاویه OBD, OH'M داریم:
با توجه به روابط (1)، (2) و(3) داریم:
با فرض اینکه sina≠0 دو طرف رابطه sin2a + cos2a=1 را بر sin2a و با فرض cosa≠0 دو طرف رابطه را بر cos2a تقسیم می‌کنیم.
داریم:
همچنین می‌توان tan و cot یک زاویه را بر حسب sin و cos یک زاویه نوشت: نحوه محاسبه مقادیر 30o, 45o, 60o زوایای قرینه: زوایای مکمل: زوایای به تفاضل رادیان: زوای متمم: زواویه‌های به تفاضل رادیان: زاویه به تفاضل رایان: محاسبه نسبت‌های مثلثاتی مجموع دو زاویه: برای مثال (sin(a+b)) محاسبه نسبت‌های تفاضل دو زاویه: اگر در اتحاد بالا بجای b، -b قرار دهیم، داریم: محاسبه مقادیر نسبت‌های مثلثاتی زاویه 2a بر حسب مقادیر نسبت‌های مثلثاتی زاویه a: از فرمول‌های می‌توان نتیجه گرفت که: می‌توان tan2a را بر حسب cos2a نوشت: با توجه به sin2a می‌توان نتیجه گرفت که: محاسبه مقادیر نسبت‌های مثلثاتی زاویه 35 بر حسب مقادیر نسبت‌های مثلثاتی a تبدیل مجموع یا تفاضل دو sin یا دو cos به حاصل ضرب: حال اگر فرض کنیم a-b=q, a+b=p، داریم: تبدیل مجموع tan و cot به حاصلضرب: تبدیل حاصلضرب دو نسبت مثلثاتی به مجموع یا تفاضل: رسم شکل توابع مثلثاتی و معکوس توابع مثلثاتی ویژگی‌های Arc اگر x>0 آنگاه: اگر xy≠1, y>0, x>0 آنگاه: اگر xy≠-1, y>0, x>0 آنگاه: معادله‌های مثلثاتی: =محیط دایره= اندازه محیط دایره بر حسب رادیان=طول کمانی برابر با شعاع دایره= اندازه محیط دایره بر حسب رادیان 0کمان تابع مثلثاتی0-101010-10100000