دانلود تحقیق خواص دنباله فیبوناچی و عدد طلایی

خواص دنباله فیبوناچی و عدد طلایی
1-1- تاریخچه
لئوناردو دا پیزا یا به عبارت مشهورتر فیبوناچی یکی از بزرگترین ریاضی دانان اروپا در سال 1175 در شهر پیزا متولد شد .

وی به علت حرفه پدریش که بازرگانی بود به کشورهای بسیاری از جمله مصر و سوریه و ...

مسافرت نمود .

فیبوناچی در سال 1200 به زادگاه خود یعنی شهر پیزا در ایتالیا مراجعت نمود.

معرفی سیستم اعداد اعشاری به عنوان جایگزینی بسیار کارآمدتر به جای سیستم اعداد رومی که استفاده از آن زمان امپراطوری روم رایج بوده است از جمله مهمترین کارهای این ریاضیدان بزرگ در طول حیاتش بوده است .

وی در ابتدای اولین بخش از کتاب خود به نام Liber abci در مورد این سیستم چنین می گوید :
« نه رقم هندی وجود دارد : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 که به وسیله آنها و همچنین‌علامت .

که در عربی صفر نامیده می شود می توان هر عددی را به شیوه هایی که توضیح داده خواهد شد نوشت » .

موارد قابل توجه زیادی در مورد زندگی این ریاضیدان وجود دارد که شاید در مختصر نوشته ای در آینده با نام معرفی فیبوناچی به آنها اشاره خواهیم نمود.

اما آنچه در اینجا موردبحث قرار خواهد گرفت دنباله ای از اعداد می باشد که همه ما در دوران دبیرستان با این دنباله به عنوان یکی از مصادیق دنباله های بازگشتی آشنا شده‌ایم .

هرچند که این دنباله در نگاه اول بسیار ساده و معمولی به نظر می رسد ولی روابط و نکات قابل توجهی در مورد این دنباله ساده وجود دارد که سالیان است
توجه بسیاری از متخصصین نظریه اعداد را به خود معطوف کرده و آنها را به شگفتی واداشته است .

2-1- دنباله فیبوناچی چیست :‌
در دوران حیات فیبوناچی مسابقات ریاضی در اروپا بسیار مرسوم بود .

در یکی از همین مسابقات که در سال 1225 در شهر پیزا توسط امپراطور فردریک دوم برگزار شده بود مسئله زیر مطرح شد .

فرض کنیم خرگوشهایی وجود دارند که هر جفت ( یک نر و یک ماده ) از آنها که به سن یک ماهگی رسیده باشند به ازاء هر ماه که از زندگیشان سپری شود یک جفت خرگوش متولد می کنند که آنها هم از همین قاعده پیروی می کنند .

حال اگر فرض کنیم این خرگوشها هرگز نمی میرند و در آغاز یک جفت از این نوع خرگوش ها در اختیار داشته باشیم که به تازگی متولد شده اند حساب کنید پس از n ماه چند جفت از این نوع خرگوش خواهیم داشت .

فرض کنیم Xn تعداد جفت خرگوش پس از n ماه باشد ، می دانیم که X2=1,X1=1 ، تعداد جفت خرگوشها در ماه n+1 ام برابر خواهد بود با حاصلجمع تعدادجفت خرگوشهایی که در این ماه متولد می شوند با تعداد جفت خرگوشهای موجود (Xn ) .

اما چون هر جفت خرگوش که از دو ماه قبل موجود بوده هم اکنون حداقل دوماه سن خواهند داشت و به سن زاد و ولد رسیده اند تعداد جفت خرگوشهای متولد شده برابر خواهدبود با Xn-1 پس خواهیم داشت :
X1 = 1 , X2=1 , Xn+1=Xn+Xn-1
که اگر از قواعد مذکور پیروی کنیم به دنباله زیر خواهیم رسید که به دنباله فیبوناچی مشهور است .

1,1,2,3,4,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,…
فیبوناچی با حل این مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان ریاضیات معرفی کرد که خواص شگفت انگیز و کاربردهای فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر ریاضیدانان بلکه دانشمندان بسیاری از رشته های دیگر را به خود جلب کرده است .

3-1- عدد طلایی چیست :‌
پیشینه توجه به این عدد نه به زمان فیبوناچی بلکه به زمانهای بسیار دورتر می رسد.

اقلیدس در قضیه
سی ام جلد ششم از سیزده جلد کتاب مشهور خود که در آنها هندسه اقلیدسی را بنا نهاد این نسبت را مطرح کرده است .

لوکا پیشولی (Luca Pacioli ) در سال 1509 پس از میلاد کتابی با عنوان نسبت الهی
(The Divine Propotion ) تالیف کرد .

وی در آن نقاشی هایی از لئوناردو داوینچی آورده است که پنج جسم افلاطونی را نمایش می دهند و در آنها نیز به این نسبت اشاره شده است .

در این نوشته نماد یونانی (Phi ) Ф را برای عدد طلایی برمی گزینیم .

هرچند بعضی از ریاضیدانان از نمادهای دیگری مانند ( Tau ) نیز برای نمایش این عدد استفاده نموده اند .

4-1- تعریف عدد طلایی :
عدد طلایی عددی مثبت است که اگر به آن یک واحد اضافه کنیم به مربع آن خواهیم رسید و یا عددی که یک واحد از معکوس خود بزرگتر باشد را عدد طلایی می نامیم.

در اثر هر دو تعریف به یک معادله درجه دوم دست خواهیم یافت .

1.

Phi2 = Phi + 1
2.

Phi = 1 + 1/Phi
اگر طرفین را در Phi ضرب کنیم خواهیم داشت :‌ Phi2 = Phi +1
عبارت فوق از ساده ترین تعاریف برای عدد طلایی می باشد .

برای پیداکردن مقدار این عدد کافی است معادله درجه دوم (1) را حل کنیم .

می توان این معادله را از روش عمومی حل معادلات درجه دوم به آسانی حل کرد و یا از راه حل زیر برای آن استفاده کرد :‌
داریم )

از آنجا که عدد موردنظرما مثبت است‌عدد طلایی برابر خواهد بود با ، اما ریشه دیگر معادله نیز از بابت کاربرد برای ما حائز اهمیت می باشد که آن را با نمایش می دهیم .

اگر نگاه دقیق تری به دو ریشه حاصل از معادله داشته باشیم به روابط جالبی بین آنها دست خواهیم یافت که به راحتی قابل اثبات می باشند ، به عنوان مثال :‌




5-1- ارتباط عدد طلایی با دنباله فیبوناچی :‌
روشهای متفاوتی برای بیان رابطه بین عدد طلایی و دنباله فیبوناچی وجود دارد که ما در اینجا به چند نمونه اشاره می کنیم .

1- اگر معادله خط را در نظر بگیریم چون Phi که به عنوان شیب این خط در نظر گرفته شده عددی است گنگ و نمی توان آن را به صورت حاصل تقسیم دو عدد صحیح نوشت خط از هیچ نقطه ای با مختصات (i , j ) به طوریکه j ,i هر دو عدد صحیح باشند نخواهد گذشت به استثنا نقطه مبداء با مختصات (0,0 ) که در تمام خطوط با معادلی کلی y=ax مشترک می باشد.

حال اگر نمودار این خط را رسم کنیم نکته ای که قابل توجه می باشد نزدیکترین نقاط با مختصات ( i , j ) به طوریکه i , j هر دو صحیح باشند به این خط است .

در حال حاضر فرض بر آن است که این خط برای تعریف شده هرچند که این مطلب تاثیر چندانی روی استدلال نخواهد داشت اما چون بحث را بر روی اعداد مثبت آغاز کرده ایم اینطور فرض می نمائیم .

برای یافتن نقاط نزدیک به این خط با مختصات صحیح از نقطه ( o , o ) خط را مورد بررسی قرار می دهیم .

اگر از نقطه ابتدایی که همانطور که در فوق آمد استثنا میباشد صرف نظر نمائیم .

به نظر می رسد نزدیکترین نقطه (1,1 ) می باشند .

نقطه بعدی( 2,1) است .

پس از آن نقطه (3,2 ) به خط نزدیک می باشد و به ترتیب زیر ادامه خواهدیافت .

(1,l), (2,l),(3,2),(5,2) , (8 ,5) , (13,8) , (21,13) , (34,21) , (55,34),… صحت مطالب فوق به راحتی قابل بررسی می باشد، باکمی دقت در مختصات این نقاط در خواهیم یافت که این مختصات از الگوی دنباله فیبوناچی پیروی می کند .

این نقاط را نقاط فیبوناچی می نمامیم .

2- دومین مطلبی که در زمینه ارتباط Phi با دنباله فیبوناچی قابل ذکر است به این قرار است :‌ به نظر می رسد که دنباله همگرا به عددی بین 6/1 تا 7/1 می باشد اما هیچکدام از این مطالب دلیل همگرایی نمی باشد .

باید حد دنباله محاسبه شود :‌ براساس ضابطه دنباله فیبوناچی اگر n را به اندازه کافی بزرگ درنظر بگیریم میتوان نوشت :‌ حال اگر حد دنباله را هنگامی که n به بینهایت میل می کند L فرض کنیم خواهیم‌داشت : و با حل معادله فوق به حد دنباله دست خواهیم یافت .

توجه کنید که معادله حاصل در واقع همان معادله ایست که در ابتدا برای بدست آوردن عدد طلایی مطرح شد .

با حل این معادله خواهیم داشت : چون می دانیم که حد دنباله مثبت است ( چون تمام جملات دنباله مثبت هستند) پس حد دنباله ساخته شده برابر با عدد طلایی می باشد .

L=Phi البته مطلب فوق مختص سری فیبوناچی نیست .

برای هر دنباله ای که از قاعده فیبوناچی پیروی کند ، با هر مقدار دلخواه برای دو جمله ابتدایی ، صادق است .

6-1- نمایش کسری عدد طلایی : اگر تعاریف مطروحه برای عدد طلایی را به خاطر بیاورید حتماً رابطه زیر را نیز به یاد خواهید آورد .

Phi = 1 + 1/Phi این رابطه بدین معناست که ما مجاز به جایگزینی Phi با 1+1/Phi در روابط میباشیم .

حال اگر در خود رابطه این جایگزینی را اعمال نمائیم خواهیم داشت : Phi = 1+1/Phi = 1+1/(1+1/Phi)=1+1/(1+1/(1+1/Phi))= … در نتیجه Phi را می توان به صورت یک کسر نامتناهی به شکل زیر نوشت :‌ Phi = 1+1/(1+1/(1+1/(1+… ))) متوقف کردن این کسر در مراحل گوناگون ما را به تقریبهایی برای Phi میرساند که هرچه توقف درمرتبه بالاتری صورت پذیرد تقریب به Phi نزدیکتر خواهدبود .

به چند نمونه از این تقریبها دقت کنید :‌ Phi =1,Phi=1+1/1=2,Phi=1+1/(1+1/1)=3/2 , Phi=1+1/(1+1/(1+1/1))=5/3 مشاهده می کنیم که اولین عدد ( 1 ) برابر است با Fib (2) /Fib(1) همانطور که از رابطه نمایش کسری Phi مشخص است کافی است به معکوس این عدد یک واحد بیافزاییم تا تقریب بعدی به دست آید 1+1/(Fib(2)/Fib(1))=1+(Fib(1)/Fib(2))=(Fib(2)+Fib(1))/Fib(2)=Fib(3)/Fib(2) خواهیم دید که این اعداد در حقیقت جملات دنباله Phi(n) میباشنى که همانطور که در قبل نشان داده شد در بی نهایت به Phi میل می کنند.

7-1- عدد طلایی ، گنگ یا گویا : با کمی دقت به آسانی درخواهیم یافت عدد طلایی یکی از اعضاء مجموعه اعداد گنگ می باشد اما برای اثبات این ادعا استدلال جالب توجهی وجود دارد که بیان آن خالی از لطف نیست : برای اثبات درنظر داریم از برهان خلف استفاده کنیم .

در ابتدا فرض کنیم Phi یک عدد گنگ نیست ( خلاف حکم ) ، اگر این فرض را قبول کنیم باید پذیرفت که عدد Phi گویاست و لذا می توان آن را به صورت کسر دو عدد صحیح نمایش داد .

فرض کنیم کسر موردنظر A/B باشد ، می توان این کسر را تا آنجا ساده کرد که صورت و مخرج آن نسبت به هم اول باشند ( هیچ عامل اول مشترکی نداشته باشند ) ، پس داریم : Phi = A/B = p/q به طوریکه p , q نسبت به هم اول می باشند ، حال به تعریف Phi رجوع می کنیم :‌ می دانیم که چون q در مخرج کسر قرار گرفته پس ، پس با ضرب طرفین (*) در q2 خواهیم داشت : همانطور که ملاحظه می کنید سمت چپ معادله دارای عامل p می باشد پس p عامل q2 هم خواهد بود ، اما چون p,q نسبت به هم اول هستند پس p=1 خواهد بود.

از طرف دیگر از رابطه (**) خواهیم داشت : باز هم مانند استدلال قبل چون q از عوامل سمت راست معادله است پس باید عامل سمت چپ معادله هم باشد پس q عامل P2 است و چون p,q نسبت به هم اول هستند q=1 خواهد شد ، در نتیجه : Phi = p/q=1/1=1 ولی عدد یک در تعریف Phi صدق نمی کند ، این تناقض مبین باطل بودن فرض است ، یعنی Phi گویا نیست پس ثابت شد که Phi گنگ است .

8-1- دواثبات برای رابطه عمومی جملات دنباله فیبوناچی در اینجا دو اثبات برای رابطه عمومی اعداد طلایی را مطرح می کنیم .

روش اول ساده ترین اثباتی است که تاکنون برای این رابطه مطرح شده و در روش دوم با استفاده از ماتریس ها به اثباتی برای این رابطه دست خواهیم یافت .

اثبات اول ( ساده ترین روش مطرح شده ) :‌ از آنچه در مطلب خواص دنباله فیبوناچی و عدد طلایی آمده داریم : Phin = Fib(n-1)+Fib(n)Phi (-Phi)n = Fib(n-1)-Fib(n)Phi از تفریق دو رابطه (1) و (2) خواهیم داشت :‌ از آنجا که :‌ خواهیم داشت : حال برای بدست آوردن رابطه مطلوب از رابطه حاصل شده از رابطه : Phi = 1/Phi که در قبل درستی آن نشان داده شده استفاده می کنیم ، خواهیم داشت : همانطور که ملاحظه کردید به سادگی با استفاده از روابطی که در گذشته اثبات نمودیم رابطه عمومی دنباله اعداد فیبوناچی اثبات شد .

اثبات دوم ( با استفاده از ماتریسها ) : آنچه در اینجا بیان می شود روش اثبات رابطه عمومی دنباله اعداد فیبوناچی با استفاده از ماتریس ، جبر ماتریس و کاربرد مقادیر ویژه آن می باشد .

با رجوع به مسئله ابتدای بحث که به پیدایش دنباله فیبوناچی منجر شد و توجه به تعداد خرگوشهای بالغ و نابالغ در هر ماه می توان چنین گفت :‌ باتوجه به جدول فوق و ماهیت مسئله این توضیح صحیح می باشد اگر بگوئیم :‌ تعداد جفت خرگوشهای بالغ در هر ماه برابر خواهد بود با حاصلجمع تعدادجفت خرگوشهای بالغ و نابالغ ماه قبل ( تعداد کل خرگوشهای ماه قبل ) و همچنین تعداد جفت خرگوشهای نابالغ هر ماه برابر خواهد بود با تعداد جفت خرگوشهای بالغ ماه قبل ، لذا خواهیم داشت .

تعداد جفت خرگوشهای بالغ ماه n+2 ام Fib(n+1)=Fib(n)+Fib(n-1) تعداد جفت خرگوشهای نابالغ ماه n+2 ام Fib(n) می توان دو رابطه حاصل شده در فوق را در قالب ماتریس به شکل زیر نوشت : با جایگزینی n-1 به جای n در رابطه فوق خواهیم داشت : رابطه به دست آمده را در رابطه اول جایگزین می کنیم :‌ می توان مجدداً با جایگزینی n-2 به جای n در رابطه اول نوشت : و مجدداً این رابطه را در رابطه ما قبل خود جایگزین کرد .

به این ترتیب خواهیم داشت: می توان این جایگزینی ها را تا n-1 بار تکرار کرد و در نهایت خواهیم داشت : در رابطه فوق بدست آوردن Mn کار دشواری است اما باتوجه به جبر ماتریس ها اگر ماتریس M را به صورت حاصلضرب سه ماتریس به شکل M=QDQ-1 بنویسیم که در آن D یک ماتریس قطری باشد آنگاه خواهیم داشت :‌ Mn = M M M … M M M = (QDQ-1) (QDQ-1) (QDQ-1) … (QDQ-1) (QDQ-1) (QDQ-1) = QDnQ-1 و همچنین در مورد توان n ام ماتریس های قطری هم داریم : در جبر ماتریسها دانستیم که مقادیر قطر اصلی ماتریس D مقادیر ویژه ماتریس M هستند که از حل کردن معادله زیر بدست می آیند : معادله بدست آمده همان معادله ای است که برای بیان اعداد طلایی حل کردیم و ریشه های آن عبارتند از :‌ پس خواهیم داشت : برای بدست آوردن Q و Q-1 به ترتیب زیر عمل می کنیم :‌ اگر قرار بدهیم a = Phi , b=-1/Phi از روابط زیر خواهیم داشت : و از اینجا می توان ماتریس Q را به شکل زیر تعریف کرد :‌ دترمینان ماتریس Q برابر خواهد بود با : detQ = 1/b-1/a = (a-b)/ab که با جایگذاری مقادیر a و b خواهیم داشت :‌ پس ماتریس وارون ماتریس Q بشکل زیر خواهد بود : حال می توان ماتریس M را به صورت Q D Q-1 نوشت : و براساس جبر ماتریسها خواهیم داشت : حال در رابطه ای که از قبل به دست آوردیم به جای Mn مقدار Q DnQ-1 را جایگزین می کنیم و با ضرب ماتریسها خواهیم داشت : تساوی برقرار شده بین دو ماتریس در فوق مبین برابری تک تک آرایه های آنهاست یعنی :‌ هر دو عبارت در حقیقت به یک رابطه واحد اشاره می کنند با این تفاوت که اولی n+1 بجای n در دومی نشسته است .

حال با جایگزینی مقادیر فرض شده برای b و a در رابطه دوم خواهیم داشت :‌ و به این ترتیب رابطه موردنظر با استفاده از ماتریسها و جبر آنها به اثبات می رسد .

اعداد فیبوناچی و موجودات زنده :‌ در ابتدا اعداد Fibonacci را بر می‌شمریم و دلیل اینکه چرا آنها در شجره خانوادگی متعدد و در شکلهای مارپیچی در برگها و دانه‌ها، ظاهر می‌شوند را مشخص می‌کنیم.

سپس در فصلهای بعدی به این موضوع می‌پردازیم که چرا بخش طلایی گیاهان توسط طبیعت که در بعضی جزئیات ذکر شده و شامل تصاویری از رشد گیاهان است، مورد استفاده قرار می‌گیرد: بیایید در ابتدا به جدول خرگوش‌ها که فیبوناچی آنها را نوشته و سپس در دو انطباق و سازگاری که باعث واقع گرایانه‌تر کردن موضوع شده است، نگاهی بیندازیم.

این مطلب تعداد زنجیره‌های فیبوناچی و تعریف ساده‌ای از تمامی زنجیره‌های پایان ناپذیر را به شما معرفی می‌کند.

1-2- خرگوش‌های فیبوناچی مسئله اصلی که فیبوناچی (در سال 1202) تحقیق و بررسی کرده، در مورد این بود که با چه سرعت ودرچه زمانی، خرگوش‌ها می‌توانستند در شرایط ایده‌آل، زاد و ولد کنند.

فرض بر این شد که یک جفت خرگوش تازه متولد شده، یک نر و ماده، را در یک محل ویژه قرار دهند.

خرگوش‌ها قادر به جفت‌گیری در سن یک ماهگی بودند بطوری که خرگوش ماده در پایان ماه دوم بارداری‌اش می‌تواند یک جفت خرگوش دیگر به دنیا بیاورد.

فرض می‌کنیم که خرگوش‌های ما هرگز نمی‌میرند و آن خرگوش ماده همیشه یک جفت خرگوش جدید (یک نر و یک ماده) در هر ماه از دومین ماه بارداری‌اش به دنیا می‌آورد در جدولی که فیبوناچی ایراد کرده ، بود… چند جفت خرگوش در یک سال متولد خواهند شد؟

در پایان اولین ماه، آنها جفت‌گیری می‌کنند ولی هنوز فقط یک جفت هستند.

در پایان دومین ماه، خرگوش ماده یک جفت خرگوش دیگر تولید می‌کند، بنابراین در حال حاضر دو جفت خرگوش در این جدول، در اختیار ما قرار می‌گیرد.

در پایان ماه سوم، خرگوش ماده اصلی (اولین خرگوش ماده) دومین جفت را تولید می‌کند، بنابراین در این زنجیره 3 جفت خرگوش وجود دارد.

در پایان ماه چهارم، خرگوش ماده اصلی همچنان یک جفت خرگوش جدید دیگر تولید کرده است، خرگوش ماده‌ای که در دو ماه قبل متولد شده، اولین جفت خود را تولید می‌کند، بنابراین تعداد خرگوش‌ها 5 جفت می‌شود.

به تصویر توجه فرمائید.

تعداد جفتهای خرگوش‌ها در این زمینه در آغاز هر ماه به این صورت می‌باشد: 34-21-13-8-5-3-2-1-1 با توجه به مطالبی که بیان شد تحت شرایطی که فیبوناچی برای خرگوشها قائل شد میتوانیم زنجیره ای را که برای شجره ی خانوادگی خرگوشها ایجاد شده را ادامه دهیم و به سوال مورد نظر پاسخ دهیم مشاهده می کنیم که در پایان سال 124جفت خرگوش خواهیم داشت نمایی دیگر از شجره خانوادگی خرگوش‌ها را مشاهده فرمائید: با کمی تامل متوجه می شویم که مسائل خرگوش‌ها زیاد واقع‌گرایانه نیست، بنظر می‌رسد که برادر و خواهری که با هم جفت‌گیری می‌کنند.

از نظر ژنتیکی منجر به بروز بعضی مشکلات برای آنها خواهد شد.

ما می‌توانیم این قضیه را با گفتن اینکه خرگوش ماده هر جفت با هر خرگوش نری می‌تواند جفت‌گیری کند و یک جفت خرگوش جدید تولید کنند، حل نمائیم.

مشکل دیگری که دوباره در روند طبیعت نمی‌تواند کاملا درست باشد این است که در هر تولد دقیقا دو خرگوش به دنیا می‌آیدو آنهم یکی نر و یکی ماده.

گاوهای دودنی محقق و شجره شناس انگلیسی، آقای هنری دودنی (در سال 1857 تا 1930) چندین کتاب عالی و برجسته در مورد جدول‌های شجره‌ای نوشته است.

در یکی از آنها، اوخرگوش‌های فیبوناچی را با گاوهای سازگار می‌کند که این امر مسائل و مشکلاتی را که بالا مشاهده کردیم واقع‌گرایانه‌تر می‌کند.

او این مشکلات را با متذکر شدن اینکه در واقع، تنها ماده‌ها هستند که جالب و مفید می‌باشند- منظور تعداد ماده‌ها !

– کمی اصلاح کرد.

او در روال کاری خودش، ماهها را سالها و خرگوش‌ها را به گاوهای نر و گاوهای ماده تغییر داد.

این موارد در مسئله شماره 175 این کتاب که- 536 جدول و مشکلات عجیب و غریب نام دارد- ذکر شده است.

(این کتاب در سال 1967، توسط انتشارات یادگاری به چاپ رسیده است.) اگر یک گاو ماده اولین گوساله ماده خود را در سن دو سالگی به دنیا آورد و بعد از آن هر ساله یک گوساله ماده به دنیا آورد، بعد از 12 سال چند تا گوساله ماده متولد شده است، با فرض اینکه هیچ کدام از آنها نمرده‌اند این روش ، یک روند آسان‌سازی بهتر برای این مسائل به شمار می‌رود و در حال حاضر کاملا واقعی می‌باشد.

اما فیبوناچی کاری را انجام داد که اغلب ریاضی‌دانان در ابتدای کار انجام می‌دهند، مسائل را ساده کرد و بعد دید که چه اتفاقی برای آنها افتاده است و می‌توان گفت که زنجیره‌های تولید مثلی که بر طبق نام خودش تبیین شده- همانطوری که بعدا خواهیم دید- جذابیت و کاربردهای عملی دیگری را به همراه دارد.

پس بیایید نظاره‌گر یک وضعیت واقعی در زندگی باشیم که دقیقاً توسط زنجیره‌های زنبور عسل فیبوناچی شکل گرفته است.

2-2- زنبورهای عسل و شجره خانوادگی بالغ بر 30000 گونه زنبور عسل در دنیا وجود دارد که اکثر انها بصورت منفرد و منزوی زندگی می‌کنند.

یکی از بیشترین نوع این زنبورها که برای عموم آشنا می‌باشد، زنبورهای عسل هستند که بطور غیر معمول با زنبورهای دیگر هم لانه می‌شوند و زندگی می‌کنند.لانه های آنها کندو نام دارد و می‌توان گفت که این زنبورها شجره خانوادگی غیر عادی دارند.در حقیقت، ویژگیهای غیر عادی زیادی در مورد زنبورهای عسل وجود دارد.

در این بخش نشان خواهیم داد که چگونه اعداد فیبوناچی ، اجداد و نیاکان این زنبورها را محاسبه می‌کند.( در این بخش منظور از « زنبور» ، « زنبورهای عسل» می‌باشند.

به تصویر موجود در صفحه توجه کنید.

در ابتدا بعضی واقعیتهای غیر عادی در مورد زنبورهای عسل وجود دارد: از قبیل اینکه: همگی آنها دو والد ندارند.

در جمعیت‌ زنبورهای عسل، یک زنبور ماده مخصوص بنام “ ملکه” وجود دارد.

در میان آنها، زنبورهای کارگر بسیاری وجود دارد که بیشتر آنها ماده هستند اما برخلاف زنبور ملکه، هیچ تخمی از خود تولید نمی‌کنند.

در میان آنها، تعدادی زنبور نر وجود دارد که کار نمی‌کنند.

زنبورهای نر توسط تخم های بارور نشده زنبور ملکه متولد می‌شوند.

بنابراین زنبورهای نر تنها یک والد دارند یعنی فقط مادر دارند و پدر ندارند.

تمامی زنبورهای ماده هنگامی متولد می‌شوند که زنبورهای ملکه با یک زنبور نر جفت گیری کرده باشد پس بنابراین می‌توان گفت که زنبورهای ماده دو والد دارند، یعنی هم پدر دارند وهم مادر.

زنبورهای ماده معمولاً به عنوان زنبورهای کارگر درمی آیند اما بعضی از انها از مواد مخصوصی بنام “ ژله پادشاهی” تغذیه می کنند.

این مواد باعث می‌شود که آنها رشد کرده و تبدیل به زنبورهای ملکه گردند و امادگی این را پیدا کنند که از گله زنبورها جدا شوند و کندوهای خود را ترک کنند و در جستجوی یک مکان جدید برای ساختن لانه جدید باشند.

بنابراین ، نتیجه‌ می‌گیریم که زنبورهای ماده دو والد دارند، یک نر و یک ماده، در حالیکه زنبورهای نر فقط یک والد دارند و آن هم ماده است.

در اینجا، ما از ترکیب شجره خانوادگی بطوری پیروی می‌کینم که والدین در بالای فرزندانشان ظاهر می‌شوند بنابراین، آخرین نسل ها در پائین نمودار قرار می‌گیرند و هرچه بالاتر رویم به نسل بزرگ‌تر و مسن‌تر برخورد می‌کنیم.

چنین شجره‌هایی تمامی نسل‌ها واجداد انسان را در پائین نمودار نشان می‌دهند.

اگرهمانند کارهای که در مورد مسائل مربوط به خرگوش‌ها انجام شده و تمامی نسل‌های بعدی جفت اصلی نشان داده شد، بخواهیم تمامی نسل های بعدی (والدین و فرزندان نسل بعد) یک فرد را فهرست کنیم،کاملاً یک شجره متفاوت با شجره‌های دیگر خواهیم داشت.

بیایید به شجره‌ خانوادگی یک زنبور نر نگاهی بیندازیم.

1ـ این زنبور تنها یک والد دارد،آنهم زنبور ماده است.

2ـ این زنبور (زنبور نر) دو والد بزرگ(یعنی پدربزرگ و مادربزرگ) دارد، به این دلیل که مادر او دو والد دارد یک نر و یک ماده.

3ـ این زنبور 3 والد بزرگتر (پدر و مادر مادر بزرگ) دارد: به این دلیل که ماردبزرگش دو والد داشته اما پدربزرگش تنها یک والد داشته.

4- چند تا والد (یعنی پدرو مادرِ مادرِ مادر بزرگ) این زنبور دارد؟

دوباره تعداد و اعداد شمارشی فیبوناچی را با هم مرور می‌کنیم: و بیشتر..989 ،610 ،377 ،233 ،144 ،89 ،55 ،34 ،21 ، 13، 8، 5 ، 3 ، 2 ، 1 3-2- اعداد فیبوناچی و اندام انسانها : انسانها هم خصوصیات فیبونانچی را در اندام خود نشان می‌دهند.

نسبت طلائی از نظر خصوصیتی در بخشهای یک انگشت دیده می‌شود.

دست انسان : هر انسان دو دست دارد ، هریک ار آنها 5 انگشت دارند ، هر انگشت ار 3 بخش تشکیل شده است که توسط دو بند از هم تفکیک می‌شوند.

تمامی این اعداد توالی فیبونانچی است.

با این وجود این ترتیبات به سادگی میتواند همزمان با هم باشد.

نسبت بین ساعد و کف دست ، نسبت طلائی است رانشان می دهد حلزون گوش موجود در گوش درونی یک مارپیچ طلائی را تشکیل می‌دهد.

4-2- ستاره دریایی یک ستاره دریائی 5 بازو دارد.

«5 پنجمین عدد فیبونانچی است » .اگر یک پنج ضلعی منظم کشیده شود و قطر‌ها به آن اضافه گردد ،یک ستاره پنج پهلو یا پنج شاخه شکل می گیرد.

جائی که جوانب پنج ضلعی یک واحد در طول به شمار می‌‌روند، نسبت بین قطرها و جوانب phi یا نسبت طلائی می‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌باشد.

این تقارن در پنج نقطه با ویژگیهای طلائی در ستاره دریائی یافت می‌شود.

5-2- مستطیل‌های فیبوناچی و مارپیچ های صدفی می‌توانیم برای نشان دادن شمارش و اعداد فیبوناچی از تصاویر دیگری استفاده کنیم.

اگر با دو مربع کوچک به اندزه یک در یک شروع کنیم.

در بالای هر دو این مربع‌ها، یک مربع به اندزاه 2 سانتی (1+1) رسم کنید.

حالا می‌توانیم یک مربع جدید – در کنار دو مربع یک در یک قبلی و مربع 2 سانتی کشیده شد بر روی آن رسم کنیم،بنابراین یک مربع جدید به اندزه 3*3 خواهیم داشت [3] خواهیم داشت؛ سپس یک مربع دیگر به ضلع 5 سانتی در کنار دو مربع قبلی 3 سانتی و 2 سانتی، رسم می‌کینم (5).

می توانیم اضافه کردن مربع‌ها را در اطراف تصویر ادامه دهیم.

نکته مهم این است که طول هر مربع جدید برابر با مجموع دو مربع آخری می‌باشد.

این ترتیب و چیدمان مستطیل ها که اضلاعشان بر اساس شمارش فیبوناچی تنظیم شده است را “ مستطیل‌های فیبوناچی ”خواهیم نامید.

در اینجا یک مارپیچ در مربع ها ، بطوری که یک چهارم دایره در هر مربع را اشغال کند، کشیده میشود.

این مارپیچ از نظر ریاضیات یک مارپیچ صحیح محسوب نمی‌شود (چون این مارپیچ از اجزایی تشکیل شده که قسمتهایی از دایره می‌باشد و مقیاس انها کوچک وکوچکتر نمی شود) اما می‌تواند تشبیه خوبی برای نوعی از مارپیچ ها که اغلب در طبیعت یافت می‌شود، باشد.

چنین مارپیچ هایی به شکل صدفهای حلزونها و صدفها دریایی دیده می شود، و همانطوری که بعداً خواهیم دید، این مارپیچ در ترتیب بندی بذرها و دانه های گیاهان گلدار هم دیده خواهند شد.

مارپیچ‌های شکل گرفته در مربع‌ها که باعث بوجود آمدن یک خط از مرکز مارپیچ می‌شوند توسط یک فاکتور عدد طلایی در هر مربع افزایش پیدا می‌کند.

بنابراین نقاط موجود بر روی مارپیچ ها، اغلب بعد از گردش که یک چهارم مربع را اشغال می‌کند.

618/1 برابر دورتر از مرکز قرار می‌گیرند.

در تمامی یک گردش، نقاط موجود بر روی شعاع خارج از مرکز 854/6= 6184/1 بار دورتر از هنگامی است که آخرین منحنی از همان خط شعاعی عبور می‌کند.

رولت گاندی, ( در کتاب مدلهای ریاضیاتی، تالیف دوم سال 1961 ، 70 صفحه) می‌گویند که این مارپیچ‌ها در صدفهای حلزون و بوته‌های گل اتفاق می‌افتد.

رشد این گلها به مطالعات مربوط به تامسون ارجاع داده می شود.

در اینجا تامسون نه تنها در مورد صدفهایی که عامل گشترش «فی» بهمراه دارند صحبت می‌کند بلکه در مورد سطح مارپیچ های همراه با عامل گسترش دائمی در امتداد یکخط مرکزی،توضیحی می‌دهد.

در شکل تصاویر از برش‌های عرضی یک صدف دریایی متعلق به ناتیلوس نشان داده می شود.

آنها منحنی مارپیچی صدف و محفظه‌های درونی این حیوان که با استفاده از ان به رشد خود ادامه‌میدهد، را نشان می‌‌دهند.

یک خط از مرکز آن به خارج در هر مسیری بکشید و دو مکانی را پیدا کنید که صدف از آن عبور کند.

نقاط عبوری خارجی حدوداً 6/1 برابر دورتر از مرکز به عنوان نقطه درونی بعد بر روی خطی که صدف از آن عبور می‌کند، خواهد بود.

این نشان می‌دهد که این صدف توسط یک عامل «نسبت طلایی» در یک گردش، رشد کرده است.

بر مبنای شکل نمایش داده شده در اینجا این عامل (یعنی نسبت طلایی) از 6/1 تا 9/1 تنوع پیدا می کند و ممکن است به واسطه اینکه این صدف دقیقاٌ در امتداد مرکز بریده نمی شود، برش عرضی ایجاد می شود.

یعنی توسط این برش بتوان به میزان دقیق محاسبات پرداخت.

منحنی این صدف «هم زاویه» یا «مارپیچ های لگاریتمی» نامیده می شود.

اگرچه «عامل رشد» ممکن نیست که همیشه «نسبت طلایی» باشد، ولی این نوع منحنی ها در طبیعت معمول و متداول می باشند.

یک برش از میان صدف یک حلزون ناتیلوس.

در اینجا منحنی‌ای وجود دارد که از محور X در اعداد فیبونانچی می‌گذرد.

بخش مارپیچ از نقاط… ،13،5،2،1 بر روی محور مثبت و از نقاط … ،8،3،1،5 بر روی محور منفی می‌‌‌گذرد.بخش نوسازی از0 ، 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، ...

بر روی محور مثبت می‌‌‌گذرد.

این منحنی بطور عجیبی ، یادآور صدفهای حلزون ناتیلوس و حلزون معمولی است.

این امر به این علت که منحنی‌ها تمایل به مارپیچهای لگاریتمی دارند، تعجب بر انگیز نیست.

اعداد فیبوناچی و گیاهان 1-3- مقدمه داستان اعداد فیبوناچی درگیاهان ، یک داستان هیجان انگیز می‌باشد.

آن می‌تواند به عنوان سمبلی برای تعداد زیادی از پدیده‌هایی که در فرم‌های زندگی باید اتفاق بیافتد ، تلقی شود.

آن امتیاز دارد که بیشتر ما می‌توانیم دلیل پایه‌ای آنرا بفهمیم ، جایی که حتی چیزی به مشخص پرواز حشرات معمول هنوز حتی بوسیله‌ی متخصصان ، خوب فهمیده نشده است .

شبیه بسیاری دیگر از موضوعات دیگری که ما همه‌ی آنها را جالب می‌دانیم طبیعت دارای بسیاری از سطوح می‌باشد .

حتی در ساده ترین شکل حیات ، بسیاری از ترکیبات برای ایجاد چیزی که بهترین انتخاب قدیمی بین بسیاری از نیازمندی‌های توافق ، باز می‌شوند، بنابراین چیزهایی که ما می‌توانیم براحتی مشاهده کنیم‌، فقط ترکیب‌های ظاهری می‌باشند .

امّا ما می‌توانیم مطمئن باشیم که طبیعت در همه‌ی راهها ، پاک و زیبا می‌باشد .

در یک مجموعه‌ی شکل‌های زندگی، هزاران ترکیب مختلف ، در طی میلیون‌ها سال برای ایجاد چیزی که اخیراً می‌بینیم ، خلاصه شده‌اند.

با توجه به اینکه احتمالاً دهها میلیون گونه وجود داشته‌اند، دانشی که ما داریم ، می‌تواند فقط حاکی از همه‌ی آنها باشد.