دانلود تحقیق جبر خطی و هندسه تحلیلی

جبر خطی و هندسه تحلیلی
1-1 ماتریس
یک ماتریس از مرتبه n×m جدول مستطیلی از اعداد شامل m سطر و n ستون است که به صورت زیر آن را نمایش می دهیم:



که عنصطر سطرi ام و ستون j ام است را درایه (مولفه ) I,j ام ماتریس A می نامیم.

دو ماتریس A و B را مساوی گوییم هرگاه مرتبه های آنها با هم برابر باشد (هم مرتبه باشند) و درایه های متناظر آنها با هم مساوی باشد.

1-1-1- معرفی برخی از ماتریس های خاص
1) ماتریس سطری: اگر ماتریس A دارای یک سطر یعنی از مرتبه باشد آن را سطری از مرتبه n می نامیم.

2) ماتریس ستونی: اگر ماتریس A دارای یک ستون یعنی از مرتبه باشد آن را ستونی از مرتبه m می نامیم.

3) ماتریس صفر: ماتریسی که همه درایه های آن صفر است یعنی را ماتریس صفر نامیده و اگر از مرتبه باشد آن را با نماد نمایش می دهیم.

4) ماتریس مربعی: ماتریسی که تعداد سطرها و ستون های آن با هم مساوی هستند را ماتریس مربعی می نامیم و اگر تعداد سطرهای آن nباشد به آن ماتریس مربعی از مرتبهn می گوییم.

5) قطر اصلی: دریک ماتریس مربعی درایه های که برای آنها i=j باشد را درایه های قطری می نامیم و قطری که شامل این درایه هاست، قطر اصلی نامیده می شود.

6) اثر (تریس) ماتریس : در هر ماتریس مربعی مجموع عناصر واقع بر قطر اصلی را اثر (تریس) A نامیده و با trA نمایش می دهیم یعنی در هر ماتریس مربعی از مرتبه n:

7) ماتریس بالا و پایین مثلثی : ماتریس مربعی که همه درایه های زیر قطر اصلی آن صفر هستند یعنی
:
را ماتریس بالا مثلثی و ماتریس مربعی که درایه های بالای قطر اصلی آن صفر هستند، یعنی
:
را ماتریس پایین مثلثی می نامند.

8) ماتریس قطری: ماتریس مربعی که هم بالا مثلثی و هم پایین مثلثی است یعنی درایه های خارج قطر اصلی آن صفر هستند ( : ( را ماتریس قطری می نامند.

9) ماتریس همانی (واحد): ماتریس مربعی که همه عناصر خارج قطر اصلی آن صفر و درایه های قطر اصلی همگی 1 باشند و به عبارتی

را ماتریس همانی می نامند و اگر از مرتبه n باشد آن را با نماد نمایش می دهند.

تذکر: معمولاً درایه های ماتریس را با نمایش می دهند.

1-1-2- اعمال جبری روی ماتریس
1) جمع: اگر A و B دو ماتریس از مرتبه باشند جمع آنها ماتریسی است که هر درایه آن از جمع درایه های متناظر در ماتریس های A و B بدست می آید به عبارتی اگر آنگاه

2) تفریق : اگر A و B دو ماتریس از مرتبه باشند، تفاضل آنها یعنی ماتریسی است و

3) ضرب عدد (اسکالر) در ماتریس : اگر A ماتریس و عددی دلخواه باشد و انگاه

یعنی اسکالر در تک تک مولفه های A ضرب می شود.

4) ضرب: اگر و (تعداد سطرهای B با ستون های A برابر باشد) ماتریس حاصل ضرب آنها یعنی یک ماتریس است و

به عبارت دیگر از ضرب سطر j ام A در ستون j ام Bبه صورت مولفه به مولفه بدست می آید.

نکته 1: اعمال جبری روی ماتریس ها تمامی خواص اعمال جبری روی اعداد (مانند جابه جایی، شرکت پذیری و ...

) را دارند به جز آنکه ضرب ماتریس ها در حالت کلی خاصیت جابه جایی ندارد یعنی
نکته 2: ماتریس همانی در ضرب، مانند عدد 1 عضو خنثی است یعنی

و ماتریس صفر در جمع (مانند عدد 0) عضو خنثی است یعنی
A+0=0+A=A
5) توان های یک ماتریس: اگر A ماتریس مربعی و از مرتبه n باشد توان های مختلف آن قابل تعریف هستند به این صورت که و به طور کلی از ضرب A در به دست می آید.

نکته 3: اگرA و B جابه جا شونده باشند یعنی اتحادهای جبری در مورد A و B برقرار خواهند بود مثلاً
و
نکته 4: حاصل ضرب دو ماتریس بالا(پایین) مثلثی یک ماتریس بالا(پایین) مثلثی است که درایه های قطر اصلی آن از ضرب درایه های متناظر روی قطر بدست می آید.

نکته 5: با توجه به نکته بالا اگر یک چندجمله ای و A ماتریس بالا (پایین) مثلثی باشد ماتریسی بالا (پایین) مثلثی است و درایه واقع بر قطر آن است.

نکته 6: برای محاسبه سطر iام ماتریس AB کافی است سطر iام A را در ماتریس B ضرب کنیم و برای محاسبه ستون j ام ماتریس AB کافی است ماتریس A را در ستون j ام B ضرب کنیم.

مثال1) اگراثر ماتریس را بدست آورید.

اگر آنگاه و چون A بالامثلثی است.

B نیز پایین مثلثی و درایه های واقع بر قطر اصلی آن از جایگذاری درایه های قطر اصلی A در بدست می آیند پس تست 1: اگر باشد، حاصل ضرب AB برابر است با: (صنایع 72) 1) 2) 3) 4) حل : گزینه 3 درست است چون پس : و و لذا پس گزینه (3) با انتخاب u=v=0 درست است.

تست 2: اگر حاصل ضرب عناصر واقع بر قطر اصلی ماتریس برابر است با : 1)2 2) 3) 4) حل: گزینه 2 درست است چون A قطری است پس نیز قطری است و و بنابراین B نیز قطری و عناصر واقع بر قطر اصلی آن و و است و حاصل ضرب آنها خواهد بود.

تست 3: اگر مجموع عضوهای سطر اول از ماتریس کدام است؟

1) 5 2) 2 3) 3 4) 4 حل : گزینه 2 درست است با توجه به نکته 6 در صفحه 16 برای محاسبه سطر اول کافی است سطر اول A را در A ضرب کنیم: = سطر اول تست 4: اگر مجموع درایه های ستون اول ماتریس برابر است با: 1) 4 2) 6 3) 8 4) 2 حل : گزینه 3 درست است با توجه به نکته 6 ستون اول از ضرب A در ستون اول بدست می آید و برای محاسبه ستون اول کافی است A را در ستون اول A ضرب کنیم.

= ستون اول = ستون اول تست 5: اگر مجموع درایه های ستون دوم کدام است؟

1) 54 2) 24 3) 72 4) 216 حل: گزینه 4 درست است توجه کنید که ستون های A با هم مساوی اند پس اگر آنگاه مشابه تست قبل ابتدا ستون دوم را محاسبه می کنیم: = ستون دوم = ستون دوم و چون جمع درایه های B برابر 6 است پس حاصل 216=6×36 خواهد بود.

تست 6: اگر ماتریس برابر است با: 1) I 2) A 3) -A 4) –I حل: گزینه 3 درست است چون پس تست 7: اگر باشد، ماتریس عبارت است از : (مکانیک : ساخت و تولیدـ آزاد 80) 1) 2) 3) 4) حل : گزینه 2 درست است.

چون A بالامثلثی است، نیز بالامثلثی است و درایه های روی قطر برابر هستند از طرفی تست 8: اگر باشد، در این صورت ماتریس کدام است؟

(مکانیک 79، سیستم 80) 1) 2) 3) 4) حل: گزینه 3 درست است.

می توان حدس زد (درستی این حدس با استقراء ثابت می شود) 1-1-3- ترانهاده یک ماتریس، ماتریس های متقارن و پاد متقارن تعریفک اگر A ماتریس باشد، ماتریس حاصل از تعویض جای سطر و ستون Aکه ماتریسی است را ترانهاده (ترانسپوز) ماتریس A نامیده و با نماد یا یا نمایش می دهیم بنابراین خواص ترانهاده ترانهاده روی جمع پخش می شود یعنی .

اگر اسکالر باشد.

ترانهاده روی ضرب پخش می شود اما جای ماتریس ها عوض می شود یعنی .

اگر A بالا(پایین ) مثلثی باشد، پایین (بالا) مثلثی خواهد بود.

عناصر قطری A و برابر هستند.

تعریفک اگر A ماتریسی مربعی باشد و ، ماتریسی A را متقارن می نامند و اگر ماتریس A پاد متقارن (ضد متقارن)می نامند.

نکته 7: در ماتریس متقارن، عناصر متقارن نسبت به قطر اصلی با هم برابرند.

نکته 8: در ماتریس پاد متقارن، عناصر متقارن نسبت به قطر اصلی، قرینه یکدیگر هستند و عناصر واقع بر قطر اصلی صفر هستند.

نکته 9: اگر A متقارن باشد، هر چند جمله ای بر حسب A که همه توان های آن فرد باشند، پاد متقارن و اگر همه توان های آن زوج باشند متقارن است.

نکته 11: اگر Aماتریس مربعی باشد، آن را به صورت یکتا به شکل مجموع یک ماتریس متقارن و یک ماتریس پادمتقارن می توان نوشت: مثال 2: A ماتریسی و بالا مثلثی است به طوری که اگر نیز بالا مثلثی باشد.

مجموع درایه های ماتریس را محاسبه کنید.

چون پس متقارن است و چون بالا مثلثی است پس پایین مثلثی نیز خواهد بود و بنابراین قطری است و چون A بالامثلثی است و قطری، A نیز قطری است و لذا 98= مجموع درایه ها تست 9: ماتریس و مفروض است.

حاصل برابر است با: 1) 2) 3) 4) حل: گزینه 2 درست است.

تست 10: ماتریس A به فرم زیر داده شده است.

ترانسپوز ماتریس A می باش، مقدار برابر کدامیک از پاسخ ها می باشد؟

1) 2) 3) 4) حل ک گزینه 1 درست است.

تست 11: چنانچه A ماتریسی باشد در این صورت کدامیک از موارد زیر غلط است؟

(صنایع 73) 1)همیشه ماتریسی متقارن است .

2)همیشه ماتریس متقارن است.

3) همیشه ماتریسی متقارن است .

4) همیشه ماتریسی متقارن است .

حل: گزینه 2 درست است.

ترانهاده همه گزینه ها را محاسبه می کنیمک گزینه (1): متقارن است گزینه (2): پاد متقارن است.

گزینه(3): متقارن است.

گزینه(4): متقارن است.

1-1-4- دترمینان یک ماتریس اگر A ماتریسی باشد، با قواعدی که در زیر تعریف می کنیم به آن عددی نسبت می دهیم که دترمینان A نامیده می شود و آن را با نمادهای یا (A)det نمایش می دهیم: اگرn =1 دترمینان ماتریس را برابر detA=a تعریف می کنیم.

برای دترمینان A به صورت زیر تعریف می شود: که دراین رابطه کهاد i,j ام ماتریس A نامیده می شود و ماتریسی مربعی از مرتبه است که از حذف سطرiام و ستون jام ماتریس A بدست می آید و به همسازه i,j ام ماتریس گفته می شود.

فرمولی که در بالا به عنوان تعریف دترمینان بیان شد، یک رابطه بازگشتی است و چون در آن فقط کهادهای سطر اول یعنی برای برای ظاهر شدند به آن بسط دترمینان بر حسب سطر اول گفته می شود به طور کلی دترمینان را بر حسب هر سطر یا ستونی می توان بسط داد و حاصل با هم برابر است.

در واقع بسط دترمینان بر حسب سطرiام به صورت: و بسط دترمینان بر حسب ستون jام به صورت است.

نکته 12: ساده تر است که دترمینان را بر حسب سطر یا ستونی که بیشترین تعداد صفر را دارد، بسط دهیم.

نکته13: در حالتی که A ماتریس مربعی از مرتبه 2 به صورت است داریم: مثال3: حاصل را بدست آورید.

با توجه به ظاهر شدن صفر در سطر سوم و ستون دوم بهتر است بسط بر اساس سطر سوم با ستون دوم انجام شود با بسط دترمینان بر حسب سطر سوم داریم.

=دترمینان تذکر: وقتی ماتریسباشد از روش دیگری موسوم به روش ساروس هم برای محاسبه دترمینان می توان استفاده کرد.

به این ترتیب که دو ستون اول را در کنار ماتریس تکرار می کنیم و عناصر روی قطر با موازی قطر اصلی را در هم ضرب و از عناصر روی قطر فرعی یا موازی آن کم می کنیمک ویژگی های دترمینان اگر در یک ماتریس ، سطر یا ستونی صفر باشد، دترمینان صفر است.

اگر دریک ماتریس ، دو سطر با هم یا دو ستون با هم، دترمینان قرینه می شو.

با جابه جا کردن دو سطر با هم یا دو ستون با هم، دترمینان قرینه می شود.

ضرب کردن یک سطر یا ستون دریک اسکالر، مقدار دترمینان را در آن ضریب، ضرب می کند.

افزودن ضریبی از یک سطر به سطر دیگر با افزودن ضریبی از یک ستون به ستون دیگر دترمینان را عوض نمی کند.

دترمینان هر ماتریس بالا(پایین) مثلثی برابر حاصل ضرب عناصر واقع بر قطر اصلی است .

تذکر:غالباً با استفاده از ویژگی های 3و4و5 ماتریس را به صورت بالامثلثی یا پایین مثلثی تبدیل و سپس دترمینان را از قاعده 6 محاسبه می کنیم.

اگر A ماتریسی پاد متقارن و از مرتبه فرد باشد، اگر تست 12: دترمینان برابر است با : (عمران : زلزله ـ ازاد79) 1) 6 2) 8 3) 12 4) 0 حل: گزینه 1 درست است با بسط بر حسب سطر اول داریم.

تست 13: مقدار دترمینان برابر است با: (شیمی نساجی و علوم الیاف ـ آزاد 78) 1) 2) 3) 4) حل: گزینه 4 درست است.

دترمینان را بر حسب ستون اول بسط می دهیم: دترمینان تست 14: اگر و ماتریس ترانهاده (ترانسپوز) A باشد، دترمینان ماتریس کدام است؟

(صنایع غذایی، تاسیسات آبیاری، آبیاری و زهکشی 78) 1) 4- 2) 0 3) 4 4) 6 حل: گزینه 4 درست است.

تست 15: دترمینان زیر برابر است با : 1) 0 2) 1 3) 10 4) بی نهایت حل: گزینه 1 درست است.

چون سطر اول و چهارم با هم برابرند، دترمینان صفر است.

تست 16: دترمینان برابر است با: (مجموعه نساجی ـ آزاد 82) 1) 8 2) 0 3) 4 4) 1 حل: گزینه 2 درست است چون سطر سوم 2- برابر سطر اول است، دترمینان صفر است.

تست 17: مقدار دترمینان مقابل چقدر است؟

(صنایع ـ آزاد 78) 1) 1 2) 0 3) 1- 4) 2 حل: گزینه 2 درست است.

اگر قرینه ستون سوم را با ستون دوم جمع و در ستون دوم بنویسییم دترمینان عوض نمی شود اما در دترمینان حاصل ستون دوم و اول با هم برابر می شوند پس دترمینان صفر است.

تست 18: اگر یک ماتریس باشد، در این صورت: (هواشناسی ـ آزاد 79) 1)detA=1 2) detA=2 3) detA=0 4) detA=-18 حل: گزینه 4 درست است.

2 برابر سطر اول را با سطر سوم جمع و حاصل را در سطر سوم می نویسیم (که معمولاً این عمل با نمادنمایش داده می شود.) و سپس بر حسب سطر سوم بسط می دهیم: تست 19: اگر فرض شود، detA برابر است باک (نساجی 79) 1) 75 2) 30 3) 15- 4) 0 حل : گزینه 1 درست است.

اگر به صفر تبدیل شود به ماتریس بالامثلثی می رسیم برای این کار ستون دوم را با ستون اول جمع می کنیم و در ستون اول می نویسیم در این صورت صفر و به 5 تبدیل می شود و 75=(3) (5) (1) (5) = ضرب عناصر روی قطر اصلی = دترمینان تست 20: حاصل دترمینان کدام است؟

(مکانیک : طراحی جامدات ـ آزاد 75) 1) 2) 3) 4) حل : گزینه 1 درست است اگر ستون اول و سوم را جمع کنیم به می رسیم با فاکتور گرفتن از 2 در ستون سوم داریم .

روش دیگر حذف گزینه هاست، هرسه گزینه (2)،(3)،(4) یکی هستند!

تست 21: اگرA ماتریس حقیقی در رابطه ( ترانهاده A است) صدق کند، آنگاه ...

(ریاضی 74) 1)detA=0 2) 3)اگر n زوج باشد، detA=0 4) اگر n فرد باشد، detA=0 حل : گزینه 4 درست است.

A پاد متقارن است پس اگرn فرد باشد با توجه به ویژگی (7) در صفحه 24 داریم detA=0 تست 22: اگر و دترمینان ماتریس برابر 9 باشد، a کدام است؟

(ژئوفیزیک و سیستم 81) 1) 1و1- 2) 1- و5 3) 5-و5 4) 5- و1 حل : گزینه 4 درست است.

با توجه به ویژگی (9) در صفحه 24: تست 23: با فرض مقدار کدام است؟

(صنایع ـ آزاد78) 1) 10- 2) 0 3) 100 4) 10 حل : گزینه 3 درست است.

چون پس و با بسط بر اساس ستون اول تست 24: ماتریس که برایi=j ، و برای ، داده شده است.

دترمینان ماتریس A برابر است با: 1) 0 2) 3) 4) حل : گزینه 2 درست است.

اگر n=2 داریم : که فقط گزینه (2) می تواند درست باشد.

توضیح دقیق تر: چون در هر سطر دقیقاً (n-1) عدد 1 و یک عدد صفر وجود دارد، اگر مجموع تمام سطرها را در سطر اول بنویسیم همه درایه های این سطر (n-1) می شود با فاکتور گرفتن از n-1 در سطر اول همه درایه ها برابر 1 خواهند بود .

چون در بقیه سطرها به جز عنصر فطری همه درایه ها 1 هستند با افزودن قرینه سطر اول به هر سطر درایه قطری 1- و بقیه درایه ها صفر می شو پس ماتریسی قطری بدست می آید که روی قطر آن (n-1) بار 1- و یک بار 1 ظاهر می شو پس :