دانلود تحقیق ریاضی عمومی

پیوستگی
6 .

1 مفاهیم اولیه پیوستگی
توابع پیوستگی از لحاظ دیداری، توابعی هستند که در هیچ نقطه‌ای پارگی نداشته باشند.

مثلاً تابع رسم شده در شکل 6 .

1 .

1، در نقطه a و b و c پیوسته نیست و در بقیه نقاط پیوسته است.

(شکل 6.

1.

1)
6.

1 تعریف تابع f را در نقطه a پیوسته می‌گوئیم هرگاه، f(a) موجود باشد.

6.

2 مثال فرض کنید تابع f به صورت زیر تعریف شده است.

اگر

پس f در پیوسته است.

اما،

بنابراین f در a=1 پیوسته نیست.

نمودار تابع در شکل 6.

2 رسم شده است.

2)
6.

3 مثال در شکل نمودار تابع ، رسم شده است.

شکل نشان می‌دهد که f‌ در پیوسته نیست.

3)
6.

4 تبصره فرق عمده‌ای بین ناپیوستگی تابع f‌ در مثال 6.

2 و تابع g‌ در مثال 6.

3 وجود دارد.

اگر مقدار f را در نقطه ، 5 تعریف کنیم، یعنی قرار دهیم ، در این صورت تایع پیوسته می‌شود.

ولی اگر را هر عددی اختیار کنیم، تابع نمی‌تواند پیوسته باشد.

اصطلاحاً ناپیوستگی f را رفع شدنی و ناپیوستگی g را رفع نشدنی می‌گوئیم.

6.

5 تعریف اگر f تابعی باشد که حول یک همسایگی از a تعریف شده باشد و در نقطه a ناپیوسته باشد.

ناپیوستگی f‌ را در نقطه a را رفع شدنی می‌گوئیم هرگاه موجود و متناهی بوده ولی .

در غیر این صورت ناپیوستگی را رفع نشدنی می‌گوئیم.

در حالت ناپیوستگی رفع نشدنی، عدد را در صورت وجود جهش در نقطه می‌گوئیم.

6 مثال تعیین کنید کدام یک از توابع زیر در نقطه داده شده ناپیوستگی دارند و از چه نوع؟

در در نقطه
حل برای f داریم:

در نتیجه f ناپیوستگی از نوع رفع شدنی دارد.

در مورد g‌ می‌توان نوشت:

داریم در نتیجه موجود نیست.

بنابراین g‌ ناپیوستگی از نوع رفع نشدنی دارد.

7 قضیه
الف) اگر f و g در نقطه a پیوسته باشند، آنگاه f+g ، f-g و fg نیز در نقطه a پیوسته هستند.

و همینطور اگر نیز در a پیوسته است.

ب) اگر f در a پیوسته باشد و g‌ در f(a) پیوسته باشد آنگاه gof در a پیوسته است.

اثبات (الف) با توجه به قضیه‌های 5.

2.

5 و 5.

6 واضح است.

(ب) با توجه به قضیه 5.

7 واضح است.

8 قضیه (پیوستگی توابع خاص)
1) توابع Sin x ، Cos x در هر نقطه پیوسته هستند.

2) توابع Cot x+ tan x در هر نقطه که تعریف شده باشند، پیوسته‌اند.

3) توابع چند جمله‌ای همه جا پیوسته‌اند.

4) توابع کسری در هر نقطه که تعریف شده باشند پیوسته هستند.

5) تابع ، اگر n فرد باشد همه جا پیوسته است ولی اگر n زوج باشد به ازای هر ، در a پیوسته است.

اثبات (1) و (2) از قضیه 5.

3.

5 نتیجه می‌شود، (3) از قضیه 5.

1 نتیجه می‌شود، (4) با توجه به (3) و قضیه 6.

7 اثبات می‌شود و (5) با توجه به قضیه 5.

3 ثابت می‌شود.

9 مثال توابع زیر را در نظر بگیرید:
الف)
ب)
ج)
نقاط ناپیوستگی را در صورت وجود پیدا کنید، نوع آنها را مشخص کنید و جهش آنها را در نقاط ناپیوستگی، در صورت وجود بیابید.

حل (الف) تابع در فاصله‌های و پیوسته است.

بنابراین، احتمالاً تابع در نقاط 3=x ، 1=x ناپیوستگی دارد.

داریم:


و مقدار تابع در 1=x برابر است با
پس تابع در 1=x پیوسته است.

نقطه 3=x را در نظر بگیرید:


چون حد چپ و راست تابع در این نقطه برابر نیست، پس تابع در نقطه 3=x ناپیوستگی نوع رفع نشدنی دارد.

جهش این تابع در این نقطه برابر است با:
(ب) داریم:


پس تابع در 3=x ناپیوستگی رفع نشدنی با جهش دارد.

(ج) تابع در تمام نقاط به جز پیوسته است.

پس تابع در ناپیوستگی رفع نشدنی با جهش دارد.

10 تعریف اگر یا یا هر دو موجود نباشد، می‌گوئیم تابع در ناپیوستگی اساسی دارد.

11 مثال در پیوستگی توابع زیر بحث کنید:
و و
حل با توجه به 5.

13، وجود ندارد، لذا g‌ در 0=x ناپیوستگی اساسی دارد و در بقیه نقاط پیوسته است.

و چون و ، لذا f(x) همه جا پیوسته است و h(x) فقط در نقطه 0=x ناپیوستگی از نوع رفع شدنی دارد.

(شکل 6.

4)

(شکل 6.

4)
6.

11 مثال فرض کنید .

b را طوری بیابید که f‌ در 0=x پیوسته باشد.

حل بایستی داشته باشیم .

اما


بنابراین
مجموعه مسائل 6.

1
1.

تابع را در نظر بگیرید.

اولاً تابع در چه نقاطی پیوسته است.

ثانیاً آیا می‌توان تابع را در نقطه 0=x طوری تعریف کرد که پیوسته گردد؟

2.

نقاط ناپیوستگی و نوع آنها را برای تابع f تعیین کنید:

3.

آیا a را می‌توان طوری انتخاب کرد که تابع ، در 0=x پیوسته شود.

4.

آیا تابع در هر نقطه از بازه پیوسته است؟

تابع چطور؟

5.

ثابت کنید:
الف) تابع D(x) در تمام نقاط ناپیوستگی اساسی دارد.

ب) تابع xD(x) در تمام نقاط بجز 0=x ناپیوستگی اساسی دارد و در 0=x پیوسته است.

ج) تابع در تمام نقاط بجز 1، 0=x ناپیوستگی اساسی دارد و در 1 ، 0=x پیوسته است.

آیا می‌توانید تابعی بسازید که در نقاط پیوسته باشد و در نقاط دیگر ناپیوستگی اساسی داشته باشد.

*7.

ثابت کنید تابع در هر عدد گنگ پیوسته است و در اعداد گویا ناپیوستگی رفع شدنی دارد.

*8.

ثابت کنید تابعی وجود ندارد که در هر عدد گنگ پیوسته باشد و در اعداد گویا ناپیوستگی اساسی داشته باشد.

9.

فرض کنید f و g همه جا پیوسته باشد ثابت کنید و نیز چنین هستند.

توضیح: و به صورت زیر تعریف می‌شوند.

راهنمایی برای هر ، a داریم:

10.

پیوستگی توابع مرکب و را بررسی کنید:
(الف) و (ب) و (ج) و در پیوستگی توابع 11 تا 22 بحث کنید.

نوع نقاط ناپیوستگی را مشخص کنید.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

در تمرینهای 23 تا 27 را طوری پیدات کنید که تابع پیوسته باشد.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

ثابت کنید تابع پیوسته است و در هیچ همسایگی از 0=x، تابع یکنوا نیست.

29.

فرض کنید f در یک همسایگی از یکنوا باشد و تابع معکوس f در آن همسایگی باشد.

ثابت کنید اگر f در پیوسته باشد، نیز در پیوسته است.

6.

2 قضایای وجودی (مقدار میانی و مقدار اکسترمم) در این بخش به دو قضیه مهم در مبحث پیوستگی می‌پردازیم که به قضایای مقدار میانی و مقدار اسکترمم معروف هستند.

1 قضیه ـ (قضیه مقدار میانی) ـ فرض کنیم f تابعی باشد که روی بازه بسته تعریف شده باشد و در هر نقطه از این بازه پیوسته باشد.

و همچنین داشته باشیم .

در این صورت Cای هست که و .

قبل از اثبات این قضیه به تعبیر ساده و جالب آن می‌پردازیم: تعبیر هندسی قضیه مقدار میانی فرض کنیم شکل 6.

1، نمودار تابع در بازه باشد که پیوسته است، و فرض کنیم f(a) زیر محور xها و f(b) بالای محور xهاست.

در واقع نمودار یک مسیر پیوسته‌ای است که از زیر خط افق شروع شده و به نقطه‌ای در بالای خط افق می‌رسد.

این مسیر در نقطه‌ای، خط افق را قطع می‌کند که در شکل 6.

1، نقاط چنین‌اند.

1) اثبات ـ فرض کنیم زیرا و همچنین b کران بالای S است.

پس طبق اصل تمامیت اعداد حقیقی کوچکترین کران بالا S موجود است، قرار می دهیم .

واضح است که و برای هر .

ادعا می‌کنیم .

چون f‌ در c پیوسته است لذا .

اگر .

بنابراین همسایگی چون از c وجود دارد به طوری که f‌ روی آن مثبت است (قضیه 5.

2) بنابراین برای هر .

بنابراین اگر باشد .

در نتیجه هر ، از کوچکتر مساوی است.

در نتیجه کران بالای S بوده و که تناقض است.

بنابراین همسایگی چون از c وجود دارد به طوری که f روی آن منفی است بنابراین اگر باشد، و این با تعریف c در تناقض است.

در نتیجه 0=f(c) و حکم ثابت است.

2 نتیجه ـ فرض کنیم f روی بازه بسته پیوسته باشد و در این صورت هست به طوری که .

اثبات ـ قرار می‌دهیم .

g روی بازه [a , b] پیوسته است و داریم .

بنابراین cای هست که 0=g(c) یعنی f(c)=d.

3 مثال ـ ثابت کنید معادله یک ریشه دارد.

حل ـ قرار می‌دهیم .

داریم، و f روی بازه پیوسته است، پس طبق قضیه مقدار میانی cای هست که و یعنی .

4 مثال ـ ثابت کنید معادله حداقل یک ریشه دارد.

حل ـ قرار می‌دهیم ، داریم: همچنین f روی بازه یوسته است، بنابراین طبق قضیه مقدار میانی، وجود دارد به طوری که 0=f(c)، یعنی .

5 قضیه ـ اگر f روی بازه [a,b] پیوسته باشد، آنگاه f کراندار است.

اثبات ـ فرض کنیم f‌ کران بالا نداشته باشد.

در بازه [a,b]، را چنان می‌گیریم که و را چنان اختیار می‌کنیم که و به همین ترتیب ...

را چنان اختیار می‌کنیم که .

حال فرض کنیم {فقط تعداد متنهای از xnها، کمتر از x باشند .

حال قرار می‌دهیم c=sup T.

اکنون برای عدد دلخواه ، بازه پس هست که .

حال اگر هیچ ای در نباشد، نتیجه می‌شود که و این با c=sup T تناقض دارد.

بنابراین ای هست که .

چون دلخواه است پس بی‌نهایت از ها در وجود دارد.

از طرف دیگر چون f در c پیوسته است، .

بنابراین تابعی پوچ‌گرا در c چون وجود دارد به طوری که: (1) را چنان اختیار می‌کنیم که .

بنابراین برای هر یا .

حال n را آنقدر بزرگ اختیار می‌کنیم که و ، در نتیجه که تناقض است.

بنابراین Mای هست که برای هر x، به همین ترتیب mای یافت می‌شود به طوری که برای هر x، .

بنابراین f کراندار است.

6 قضیه ـ اگر f روی بازه پیوسته باشد، آنگاه p، qای در وجود دارد به طوری که برای هر .

اثبات ـ بنا به قضیه 6.

5، مجموعه ناتهی کراندار است، لذا طبق اصل کمال کوچکترین کران بالای این مجموعه وجود دارد، فرض کنیم .

اگر برای هر قرار می دهیم .

چون هیچ وقت صفر نمی‌شود g بر پیوسته است پس طبق 6.

5، g کراندار است.

فرض کنیم چنان باشد که برای هر پس برای هر x، .

که با تعریف M در تناقض است.

بنابراین pای هست به طوری که .

لذا برای هر .

به همین ترتیب qای یافت می‌شود به طوری که برای هر .

مجموعه مسائل 6.

2 1.

فرض کنید یک تابع پیوسته باشد ثابت کنید وجود دارد به طوریکه 2.

فرض کنید پیوسته باشد، ثابت کنید برای هر n، ای وجود دارد که و .

فرض کنید پیوسته باشد و g تابعی پیوسته روی باشد که و ثابت کنید cای هست به طوری که .

4.

ثابت کنید هر معادله جبری با توان فرد، حداقل یک ریشه است.

5.

ثابت کنید حداقل یک ریشه در فاصله دارد؟

ثابت کنید نقطه ای از فاصله وجود دارد به طوری که 7.

فرض کنید f در پیوسته باشد و ثابت کنید cای هست که و .

3 پیوستگی یکنواخت فرض کنید که f تابعی باشد که در یک بازه چون I پیوسته است.

این بدین معنی است که به ازای هر y، تابعی پوچ گرا در y چون وجود داشته باشد به طوری که: (1) که این تابع ، به y بستگی دارد و در اصل می‌بایستی با نمایش داده شود.

مثلاً فرض کنیم و .

فرض کنیم در این صورت (2) بنابراین هر چه y به 0 نزدیکتر باشد در همسایگی y، می‌بایستی صعودی‌تر و نزولی‌تر باشد تا بتواند را در بر گیرد.

1) هر چه قدر دهنه تابع را کمتر کنیم، آن را نمی‌توان برای همه yها به کار برد، با نزدیک شدن yها به 0، دهنه باید تنگ و تنگ‌تر باشد و این به خاطر این است که f در به بی‌نهایت می‌گریزند و به اصطلاح f در بازه (1 ، 0) پیوسته یکنواخت نیست.

1 تعریف ـ تابع f را روی بازه I پیوسته یکنواخت می‌گوئیم هرگاه یک تابع پوچ‌گرا در 1 = x چون موجود باشد به طوری که: (3) در تعریف فوق تابع برای همه نقاط y در I است و بستگی به y ندارد.

2 تعبیر هندسی ـ اگر تابعی f روی I پیوسته باشد برای هر ، ای یافت می‌شود به طوری که: (4) تابع f وقتی پیوسته یکنواخت است که بتوان را طوری انتخاب کرد که آنها را به مبدأ منتقل کنیم تابع پوچ‌گرای در صفر موجود باشد به طوری که از همه آنها بزرگتر باشد.

2) یعنی تابع پوچ‌گرای پیدا شود به طوریکه (5) قضیه زیر را به عنوان مهمترین به عهده خواننده می‌گذاریم.

3 قضیه ـ هر گاه f در بازه بسته پیوسته باشد، f در به طور یکنواخت پیوسته است.

اثبات ـ تمرین 6.

4 قضیه ـ فرض کنیم و دو تابع پیوسته یکنواخت روی I باشند، در این صورت + نیز پیوسته یکنواخت است.

اثبات ـ فرض کنیم به ترتیب توابع پوچ‌گرا متناظر با و باشند که (6) قرار می‌دهیم ، طبق 5.

1، یک تابع پوچ‌گرا در 0 است و داریم: (7) و بنابراین پیوسته یکنواخت است.

5 مثال ـ ثابت کنید در به طور یکنواخت پیوسته است.

حل ـ فرض کنیم x , y دلخواه باشند؛ حال قرار می دهیم .

واضح است که یک تابع پوچ‌گرا در نقطه 0 است و داریم: (8) 6.

6 مثال ـ ثابت کنید در به طور یکنواخت پیوسته نیست، در نتیجه حاصلضرب دو تابع به طور یکنواخت پیوسته، به طور یکنواخت پیوسته نیست.

اثبات ـ فرض کنیم تابع پوچ گرای ، در نقطه 0 موجود باشد به طوری که: (9) فرض کنیم ، داریم: در نتیجه برای هر داریم: (11) که تناقض است زیرا با اختیار ، (11) برقرار نیست.

3 1.

قضیه 6.

3 را ثابت کنید: 2.

ثابت کنید درباره (1 ، 0) به طور یکنواخت پیوسته نیست.

تابعی مثال بزنید که ولی پیوسته یکنواخت نباشد.

(راهنمایی ـ با استفاده از شکل مثال بزنید).

*4.

فرض کنیم f(x) روی صعودی باشد، و پیوسته یکنواخت نباشد.

ثابت کنید پیوسته یکنواخت است.

*5.

آیا در به طور یکنواخت پیوسته است؟

ثابت کنید روی پیوسته یکنواخت است.

7.

ثابت کنید tan x روی پیوسته یکنواخت نیست.

8.

اگر و f‌ روی پیوسته باشد.

f در این بازه پیوسته یکنواخت نیست.

دنباله‌ها و حد آنها تاکنون در اثبات بعضی از قضیه‌ها با نمادهایی چون و و یا برخورد کرده‌ایم و از اندیسهای آنها استفاده‌های نامرئی نموده‌ایم.

چنین اعدادی اندیس‌دار که در کنار هم و پشت سر هم نوشته می‌شوند، را به عنوان یک «دنباله» از اعداد حقیقی می‌شناسیم.

مثلاً: (1) دنباله‌هایی از اعداد حقیقی هستند.

به طور کلی یک دنباله به صورت اعدادی کنار هم چون (2) است که xn را جمله عمومی دنباله می‌گوئیم و اغلب اوقات دنباله فوق را با نشان می‌دهیم.

این نماد را با مجموعه تک عضوی که تنها عضو آن xn است اشتباه نگیرید.

1 مثال ـ دنباله‌های زیر دنباله‌هایی از اعداد حقیقی هستند که جمله عمومی آنها کنارشان نوشته شده است.

یک دنباله چون، می‌تواند به طور بازگشتی تعریف شود.

یعنی معادله‌ای که در آن جمله عمومی بر حسب جملات با اندیس پائین‌تر تعریف می‌شوند.

3 تعریف ـ دنباله از اعداد حقیقی را نزولی می‌گوئیم هر گاه برای هر n، .

یعنی: (3) و آن را صعودی می‌گوئیم هر گاه برای هر n، ، یعنی، (4) دنباله را پوچ‌گرا می‌گوئیم هرگاه نزولی و مثبت باشد و برای هر ، nای یافت شود به طوریکه به عنوان مثال دنباله‌های و دنباله‌های پوچ‌گرا هستند.

زیرا همگی نزولی و مثبت بوده و شرط مربوط به پوچ‌گرایی را دارند.

4 قضیه ـ فرض کنیم و دو دنباله پوچ‌گرا باشد.

آنگاه و پوچ‌گرا هستند.

اثبات ـ برای هر n داریم: لذا هر دو دنباله نزولی و مثبت هستند حال فرض کنیم باشد، 1m و 2n را چنان اختیار می‌کنیم که و ، حال فرض کنیم در نتیجه: (5) لذا هر دو دنباله پوچ‌گرا هستند.

مثال ـ دنباله پوچ‌گرا است زیرا دو دنباله و پوچ‌گرا هستند.

5 قضیه ـ فرض کنیم یک تابع از راست پوچ‌گرا باشد و یک دنباله پوچ‌گرا باشد.

در این صورت دنباله پوچ‌گراست.

اثبات ـ برای هر ، داریم: لذا؛ (6) یعنی دنباله نزولی و مثبت است.

حال فرض کنیم .

چون یک تابع پوچ‌گرای راست در نقطه 0 است، وجود دارد به طوری که ، چون یک دنباله پوچ‌گراست، nای یافت می‌شود به طوری که ، حال چون صعودی است، داریم: (7) و این پوچ‌گرایی دنباله را اثبات می‌کند.

6 مثال ـ ثابت کنید یک دنباله پوچ‌گراست.

حل ـ با توجه به 6.

5 و اینکه tan x پوچ‌گرای راست در 0=x است، حکم نتیجه می‌شود.

7 تعریف ـ فرض کنیم یک دنباله از اعداد حقیقی باشد می‌گوئیم xn به حد x همگراست.

هرگاه دنباله پوچ‌گرایی چون باشد به طوری که: (8) در این صورت می‌نویسیم .

8 قضیه ـ حد یک دنباله منحصر به فرد است.

اثبات ـ فرض کنیم دنباله ، دارای دو حد باشد.

بنابراین دنباله‌های پوچ‌گرای وجود دارند به طوری که و .

بنابراین چون یک دنباله پوچ‌گراست.

بایستی داشته باشیم ، در نتیجه .

9.

9 قضیه ـ فرض کنیم و دو دنباله باشد به طوری که و .

در این صورت (9) (10) اثبات ـ فرض کنیم دنباله‌های پوچ و چنان باشد که و در این صورت برای هر n، (11) با توجه به قضیه 6.

4، یک دنباله پوچ‌گراست، و این (9) را اثبات می‌کند.

برای اثبات (10)، با توجه به قضیه 6.

4 یک دنباله پوچ است.

لذا (10) با توجه به تعریف اثبات می‌شود.

10 تبصره ـ فرض کنیم برای هر n، an=c یک دنباله ثابت باشد.

در این صورت واضح است که .

از این موضوع و قضیه قبل نتیجه می‌شود که برای هر و دنباله همگرای داریم، .

برای اثبات این موضوع کافیست قرار دهیم و به خصوص 1- =c، و همین طور (13) نتیجه می‌شود.

مشابه آنچه که در مبحث حد ثابت شد، می‌توان در اینجا برای دنباله‌ها بیان شود که ما اثبات آنها را به عهده خواننده می‌گذاریم.

11 قضیه ـ فرض کنیم دنباله‌ای باشد که .

در این صورت Nای وجود دارد به طوری که برای هر .

12 قضیه ـ فرض کنیم و دنباله‌هایی باشد که و و برای هر n، .

در این صورت .

13 تعریف ـ دنباله را کراندار گوئیم هر گاه Mای باشد که برای هر n، .

14 قضیه ـ فرض کنیم و ، دنباله‌هایی باشند که کراندار باشد.

آنگاه اثبات ـ تمرین 6.

15 قضیه ـ (ساندویچ برای دنباله‌ها) فرض کنیم و و سه دنباله باشند که و برای هر n داشته باشیم .

14 قضیه ـ هر دنباله یکنوا و کراندار همگراست.

اثبات ـ فرض کنیم ، صعودی باشد و M‌چنان باشد که برای هر n، .

حال قرار می‌دهیم .

برای این موضوع قرار می دهیم .

برای هر n داریم و همچنین واضح است که یک دنباله نزولی است.

حال فرض کنیم را در نظر می‌گیریم.

بنا به تعریف a، نمی‌تواند کران بالای باشد.

بنابراین mای هست که .

در نتیجه .

در نتیجه یک دنباله پوچ است.

اضافه بر این برای هر x داریم .

بنا به تعریف .

17 قضیه ـ فرض کنیم تابع f در a پیوسته باشد و .

اثبات ـ فرض کنیم تابع پوچ‌گرای در a چنان باشد که برای هر x، (14) و فرض کنیم دنباله پوچ‌گرای چنان باشد که (15) در نتیجه (16) چون بنا به قضیه 6.

5 یک دنباله پوچ‌گراست در نتیجه .

در واقع به طور کلی قضیه زیر را داریم که اثبات آن را به عهده خواننده می‌گذاریم.

18 قضیه ـ فرض کنیم f‌ در a دارای حد L (ممکن است باشد) و آنگاه .

19 مثال ـ حد دنباله را پیدا کنید.

حل ـ واضح است که (17) و همین طور داریم؛ (18) در نتیجه با توجه به قضیه ساندویچ در دنباله‌ها (19) 6.

20 مثال ـ ثابت کنید دنباله با ضابطه همگراست.

حل ـ ابتدا ثابت می‌کنیم دنباله نزولی است، برای اثبات این موضوع را محاسبه می‌کنیم: (20) بنابراین و همین‌طور توجه می‌کنیم که .

بنابراین نزولی و کراندار است بنابراین این دنباله همگراست.

21 تبصره ـ را با نشان می‌دهیم.

این عدد به عدد نپر معروف است و یکی از مهمترین ثابتهای ریاضیات عالی محسوب می‌شود.

(21) 6.

22 مثال ـ فرض کنید دنباله را با رابطه جایگشتی ، تعریف کنیم.

ثابت می‌کنید همگراست و .

حل ـ با استقراء ثابت می‌کنیم که ، نزولی و کراندار است.

داریم ، اگر آنگاه .

پس دنباله از پائین کراندار است و همین طور برای نزولی بودن آن داریم، ، و اگر آنگاه .

لذا طبق استقراء برای هر n‌ داریم .

در نتیجه بنا به قضیه 6.

16، موجود است.

بنابراین: (22) در نتیجه ، و چون یعنی .

مجموعه مسائل 4.

6 1.

قضیه‌های 6.

11، 6.

12، 6.

14، 6.

15 را ثابت کنید.

آیا دنباله‌های و همگرا هستند؟

کدامیک از دنباله‌های زیر همگرایند؟

آیا می‌توانید حد آنها را بیابید.

(3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) ثابت کنید اگر آنگاه .

و اگر آنگاه .

همچنین اگر آنگاه .

اگر یا چه طور؟

کدامیک از دنباله‌ها (15) تا (23) همگرا هستند و کدامیک به بی‌نهایت نزدیک می‌شوند؟

(15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) فرض کنید a یک عدد حقیقی باشد.

حدود زیر را حساب کنید.

و 25.

ثابت کنید اگر حدود دنباله‌های بازگشتی زیر را حساب کنید (ابتدا ثابت کنید همگرا هستند): (26) و (27) و (28) و (29) و که و فصل هفتم مشتق 7.

1 تعریف و قضایای مقدماتی 7.

تعریف: فرض کنیم f یک تابع باشد که در همسایگی از a تعریف شده باشد.

می‌گوئیم f در a مشتق‌پذیر است اگر حد زیر موجود و متناهی باشد: (1) حد فوق را با نماد نشان می‌دهیم و مشتق f در نقطه a می‌خوانیم.

2 مثال ـ تابع ثابت در هر نقطه مشتق‌پذیر است و در واقع در این حالت .

زیرا: (2) 7.

3 مثال ـ تابع خطی در هر نقطه مشتق‌پذیر است و داریم زیرا: 7.

4 مثال ـ فرض کنید در چه نقاطی مشتق‌پذیر است؟

مشتق آن را پیدا کنید.

حل ـ برای هر ، داریم: بنابراین برای هر ، مشتق f در نقطه x وجود دارد و برابر است با .

همانطور که در قضیه 7.

6 خواهیم دید توابع چند جمله‌ای همه جا مشتق‌پذیر هستند و مشتق آنها نیز تابعی از نوع خود یعنی چند جمله‌ای هستند.

قبل از آن به چند قاعده در مشتق‌گیری می‌پردازیم.

5 قضیه (قاعده‌های مشتق‌گیری) ـ فرض کنیم f و g دو تابع باشند، 1) (قاعده جمع) اگر f و g در x مشتق‌پذیر باشند آنگاه f+g نیز در x مشتق‌پذیر است و داریم: (5) 2) (قاعده ضرب) اگر f و g در x مشتق‌پذیر باشند آنگاه fg نیز در x‌ مشتق‌پذیر است و داریم: (6) 3) (قاعده تقسیم) اگر f و g در x مشتق‌پذیر باشند و باشد.

آنگاه در x مشتق‌پذیر است و داریم: (7) 4) (قاعده ترکیب) اگر f در x و g در f(x) مشتق‌پذیر باشند، در این صورت gof در x مشتق‌پذیر است و داریم: (8) اثبات ـ (1) با توجه به تعریف تابع f+g داریم: (9) چون f و g در x مشتق‌پذیر هستند بنابراین و موجود و متناهی هستند پس موجود بوده و داریم: (2) ابتدا توجه می‌کنیم که در نتیجه با تقسیم با طرفین (توجه کنید ) داریم: (11) بنابراین موجود است و داریم: (12) (3) قرار دهید .

داریم: (13) (4) فرض کنیم .

چون g در y مشتق‌پذیر است موجود است.

حال قرار می‌دهیم و که در آن .

داریم: بنابراین: (14) چون f در x پیوسته است را نتیجه می‌دهد.

چون s در صفر پیوسته است، .

پس: (15) اما در مورد طرف چپ تساوی فوق می‌توان نوشت: حال با توجه به قضیه قبل می‌توان به راحتی مشتق یک چند جمله‌ای را محاسبه کرد.

6 قضیه ـ تابع چند جمله‌ای در هر نقطه مشتق‌پذیر است و داریم: (17) اثبات ـ قرار دهید .

ابتدا با استقراء روی k نشان می‌دهیم .

اگر 1= باشد به وضوح داریم .

فرض کنیم حکم برای درست باشد.

در این صورت (18) بنابراین برای هر داریم، (19) در نتیجه با توجه به قاعده جمع در قضیه قبل: و حکم ثابت است.

7 قضیه ـ تابع را در نظر بگیرید.

در چه نقاطی f مشتق‌پذیر است.

مشتق آن را بیابید.

حل ـ چون صورت و مخرج دو چند جمله‌ای هستند، پس هر دو در همه نقاط مشتق‌پذیر می‌باشند.

بنابراین طبق قضیه 7.

5 (3)، f در نقاطی که است، مشتق‌پذیر می‌باشد.

یعنی f‌ در همه نقاط بجز مشتق‌پذیر می‌باشد و مشتق آن عبارتست از: (20) و با ساده کردن خواهیم داشت: 7.

8 مثال ـ مشتق تابع را بیابید.

حل ـ قرار می‌دهیم و ، داریم: .

با توجه به قاعده ضرب در قضیه 7.

5 (2)، 7.

(محاسبه مشتق توابع مثلثاتی) ـ توابع مثلثاتی در جاهایی که تعریف می‌شوند مشتق‌پذیر می‌باشند در واقع 1) برای هر 2) برای هر و برای هر اثبات ـ (1) با توجه به روابط، (22) (نتیجه 3.

10 را به یاد بیاورید) داریم: (23) توجه کنید که تابع cos پیوسته است و و به همین ترتیب.

(2) با توجه به رابطه‌های و و قضیه 7.

5 (3) نتیجه می‌شود.

10 مثال ـ جسمی که توافقی ساده می‌کند و معادله حرکتش به صورت است، را در نظر بگیرید.

در فیزیک به این معادله نوسانات سینوسی گفته می‌شود که دامنه آن A، با فرکانس و زاویه اولیه اگر از معادله فوق بر حسب t مشتق بگیریم، در واقع سرعت جسم در زمان t را به دست می‌آوریم که برابر است با و همین‌طور شتاب جسم از مشتق‌گیری از سرعت بر حسب زمان به دست می‌آید.

.

توجه کنید که در معادلات نوسان سرعت و شتاب، فرکانس تغییری نمی‌کند و همان فرکانس x(t) است.

از مقایسه معادله و در می‌یابیم که رابطه بین x(t) و مشتق دومش یعنی برقرار است.

یک چنین معادله‌ای که در آن تابع و مشتقاتش وجود دارند را معادله دیفرانسیل نام دارد.

این معادلات و چگونگی حل آنها در علم و صنعت بسیار کاربرد دارد.

11 مثال ـ مشتق تابع و را بیابید.

12 نمادهای گوناگون برای مشتق فرض کنیم ضابطه تابع y بر حسب x باشد، نماد معمولاً برای مشتق‌گیری نقطه به نقطه تابع به کار می‌رود.

وقتی که می‌خواهیم یک تابع را در نقاط مختلف بررسی کنیم از این نماد استفاده می‌کنیم.

در مواقعی که دیدگاه فرمولی به توابع داریم، مثلاً در معادلات دیفرانسیل، معادلات با مشتقات جزئی و معادلات فیزیک از نماد دیگری استفاده می‌کنیم: یعنی مشتق y نسبت به x‌ که در واقع معادل است و یا در مواقعی به صورت .

همچنین نمادهای مشتق دوم هستند و به همین ترتیب برای هر نیز نمادهای مشتقات مرتبه بالاتر هستند.

این بخش را با قضیه زیر می‌بندیم: 7.

قضیه ـ اگر f در یک نقطه مشتق‌پذیر باشد آنگاه پیوسته است.

اثبات ـ فرض کنیم f در نقطه a مشتق‌پذیر باشد.

در این صورت در نتیجه .

یعنی f در a پیوسته است.

مجموعه مسائل 7.

1 1.

با استفاده از تعریف مشتق، مشتق توابع زیر را بیابید: (الف) (ب) 2.

نشان دهید که هر یک از توابع زیر در نقاط داده شده مشتق ندارند.

(الف) در (ب) در (ج) در با استفاده از دستورهای مشتق‌گیری مشتق توابع تمرینهای 3 تا 14 را بیابید.

10.

ثابت کنید که اگر تابع در یک همسایگی کراندار باشد، آنگاه f در پیوسته است.

13 را به کمک این موضوع ثابت کنید.

اگر نشان دهید 17.

ثابت کنید پیوسته است ولی در 0=x مشتق‌پذیر نیست.

دستور لایب نیتز را ثابت کنید: فرض کنید f(x) و g(x) دو تابع باشند که n مرتبه مشتق‌پذیر باشند و و مشتقهای مرتبه kام f و g‌ باشند آنگاه: 19.

با استفاده از فرمول لایب نیتز ثابت کنید: (الف) اگر آنگاه .

(ب) اگر آنگاه (ج) اگر آنگاه (د) اگر آنگاه 20.

با استفاده از فرمول لایب نیتز مشتق 1382ام هر یک از توابع زیر را بیابید.

2 مشتق‌گیری از توابع معکوس 7.

1 قضیه ـ فرض کنید f تابعی پیوسته باشد که در یک همسایگی از x، یکنوا باشد و تابع معکوس f در بازه مربوط باشد.

اگر f در x مشتق‌پذیر باشد آنگاه نیز y=f(x) مشتق‌پذیر بوده و اثبات ـ فرض کنیم و .

پس و در نتیجه .

چون تابع معکوس f بوده و f در یک همسایگی x، یکنوا می‌باشد، بنابراین در y پیوسته است (مجموعه مسائل 6.

1 تمرین 29 را ببینید).

یعنی را نتیجه می‌دهد.

پس: اما .

این حکم را ثابت می‌کند.

در نمادگذاری از نوع دوم، می‌توان این قضیه را به صورت نمایش داد.

ولی توجه کنید که این یک اثبات نیست.

در هر حال می‌توان از آن در محاسبه فرمول مشتق تابع معکوس به عنوان فرمولی دیگر استفاده کرد.

قضیه فوق برای تابعی درست است که در یک همسایگی نقطه مورد نظر یکنوا باشد.

در واقع اگر در همسایگی نقطه مورد نظر تابع یکنوا نباشد تابع معکوسی نمی‌توان یافت که در مورد مشتق آن سخن گفت مثلاً تابع در هر همسایگی 0=x، یکنوا نیست.