دانلود تحقیق حد و پیوستگی

حد و پیوستگی
حد متغیر، متغیر X و عدد ثابت a را در نظر می گیریم اگر x بی نهایت به a نزدیک شود (از سمت چپ یا راست) بطوریکه فاصله x تا a از هر عدد بسیار کوچکی مانند e ( اپسیلون) کمتر شود ولی x بر a منطبق نگردد در آنصورت می گویند x به سمت a میل می کند و یا به عبارت دیگر، حد x برابر a میباشد، که در شکل زیر نشان داده شده است:
حد تابع: تابع fa= حد در نظر می گیریم اگر x به سمت a میل شد یعنی بی نهایت به a نزدیک شود آنصورت تابع (x)f ممکن است به سمت عددی مانند L، بی نهایت نزدیک شود که به آن، حد تابع می گویند و به صورت زیر نشان میدهند:
( حد f(x) وقتی که xبه سمت a میل میکند برابر با L است) limy=lim f(x)= L مثال) تابع y=x+1 در نظر می گیریم.

اگر x به عدد 3 نزدیک شود، y به عدد 4 نزدیک میگردد.

نزدیک شدن x به 3 از دو سو امکان پذیر است، یکی اینکه با مقادیر کمتر از 3 (از سمت چپ) به سمت 3 میل کند و دیگر آنکه با مقادیر بزرگتر از 3 (از سمت راست) به سمت 3 میل میکند که در جدول زیر نشان داده شده است: فرض کنیم تابع f در بازه باز (a,) تعریف شده باشد، عدد L را حد چپ f(x) در نقطه x0 می نامند.

اگر بتوان f(x) را به هر اندازه دلخواه به L نزدیک کرد، به شرطی که عدد مثبت x-را به قدر کافی به صفر نزدیک کنیم و در این صورت می نویسند: Lim(f)= L نکته: وقتی نوشته میشود lim f(x)=L به مقادیر x در بازه باز (a,) توجه داریم، نه خود و شرط اولیه وجود حد چپ در آن است که تابع در یک بازه بازی مانند (a,) تعریف شده باشد.

مثال: تابع f با ضابطه f(x)=[x] را در نظر می گیریم با توجه به نمودار تابع می توان نوشت: Lim f(x)=1 Y 2 1 x -1 2 1 فرض کنیم f تابعی باشد که به ازای هر x از بازه باز (,b( تعریف شده باشد، عدد L را حد راست f(x) در نقطه می نامیم اگر بتوان f(x) را به هر اندازه دلخواه به L نزدیک کرد، به شرطی که عدد مثبت x- را به قدر کافی به صفر نزدیک کنیم.

در این صورت می نویسند: Lim f(x)=L نکته: وقتی نوشته میشود lim f(x)=L به مقادیر x درباره (,b) توجه داریم، نه خود و شرط اولیه وجود حد راست در آن است که تابع در یک بازه بازی مانند (,b) تعریف شده باشد.

مثال: تابع f را در نظر می گیریم.

y x 1 0 -1 حد تابع در یک نقطه منظور از حد تابع r(x) در نقطه x=a این است که حد چپ و راست تابع r(x) را در این نقطه بدست آوریم و در این دو حد با هم برابر شدند تابع f(x) در دارای حد میباشد علامت lim f(x) نمایش می دهیم بنابراین داریم: Lim r(x)=lim r(x)= lim r(x) توجه داشته باشیم که یک تابع در نقطه x=a در صورتی حد چپ یا راست دارد که حد بدست آمده، یک عدد حقیقی باشد نه موهومی.

مثال 1) حد تابع r(x) را وقتی x=1 بدست آورید.

حل) Lim r(x)= lim (3x)= 3*1=3 حد چپ تابع r(x) Lim r(x)=lim r(x)=3 Lim r(x)=lim (x+2)= 1+2=3 حد راست تابع r(x) بنابراین حد تابع فوق وقتی x=1 برابر با 3 میباشد یعنی: Lim r(x)=3 صور مبهم عبارت مبهم به عبارتی اطلاق میشود که بی شمار جواب داشته باشد و دارای یک جواب منحص به فرد نباشد.

برخی از صور مبهم عبارتند از حد توابع وقتی x=a، اگر به صورت صور فرق درآید، برای رفع ابهام، بر حسب مورد از حالات زیر استفاده می کنیم: حالت اول، این حالت زمانی پیش می آید که به ازای مقدار خاصی از x هم صورت و هم مخرج صفر گردد.

در اینگونه موارد، عاملی را که سبب صفر گردیدن صورت و مخرج شده است حذف می نماییم و پس از حذف آن عامل (عامل مشترک) مقدار x را برابر a قرار می دهیم.

برای حذف این عوامل، روش های زیر را داریم.

الف) اگر تابع، کسری باشد صورت و مخرج را به عامل های اول تجزیه می کنیم تا جایی که رفع ابهام شود و اگر با روش های معمولی نتوانیم صورت و مخرج را به عامل های اول تجزیه کنیم صورت و مخرج را برابر x-a تقسیم می کنیم تا عامل دیگر تجزیه بدست آید.

مثال 1) حد تابع را وقتی x=1 بدست آورید.

حل) (مبهم) برای رفع ابهام، صورت و مخرج را به عامل های اول تجزیه می کنیم: مثال 2) حد تابع را وقتی x=1 بدست آورید.

حل) (مبهم) چون از روش های معمولی نمی توانیم صورت و مخرج را به عامل های اول تجزیه کنیم بنابراین صورت و مخرج را بر x-1 تقسیم می کنیم و خواهیم داشت: بنابراین: ب) اگر صورت و یا مخرج (و یا هر دو) یک تابع به صورت رادیکالی باشد، برای رفع ابهام، صورت و مخرج را در مزدوج صورت یا مخرج (که بصورت رادیکالی میباشد) ضرب می کنیم و اگر عبارت رادیکالی به صورت یک جمله باشد در این صورت صورت و مخرج را در این عبارت ضریب می نماییم.

مثال 1) حد تابع y= وقتی x=2 بدست آورید.

حل) (مبهم) برای رفع ابهام، صورت و مخرج را در مزدوج صورت یعنی ضرب می کنیم: بنابراین: مثال 2) حد تابع را وقتی x= -3 بدست آورید.

(مبهم) برای رفع ابهام صورت و مخرج تابع را در ضرب می کنیم: بنابراین: حالت دوم، در توابع کسری، وقتی اگر حد تابع به صورت درآمد در این صورت برای رفع ابهام از بزرگترین توان x در صورت و مخرج فاکتور گرفته و پس از حذف عامل مشترک در صورت و مخرج حد تابع را بدست می آوریم.

مثال) حد تابع را وقتی بدست آورید.

حل) (مبهم) برای رفع ابهام از بزرگترین توان xدر صورت و مخرج تابع، فاکتور می گیریم: قضایای حد قضیه 1: حد تابع ثابت f(x)=c وقتی که برابر C است (C عدد ثابت) |f(x)-c|=|c-c|=0 f(x)=c Y x x دیده میشود |f(x)-c| ک صفر میباشد از هر عدد مثبتی کوچکتر است.

هر اندازه به صفر نزدیک باشد.

قضیه 2: حد تابع f(x)=x وقتی که برابر است.

||=||f(x)- Y x دیده میشود با به قدر کافی کوچک کردن || می توان ||f(x)- را به طور دلخواه از هر عدد مثبتی کوچکتر گرفت بنابراین: lim x= قضیه 3: حد تابع f(x)=ax+b وقتیبرابر +ba است (b,a دو عدد ثابت) |a|=|a|=|(+ba) |ax+b- دیده میشود که با قدر کافی کوچک کردن می توان |a| را به طور دلخواه از هر عدد مثبتی کوچکتر گرفت بنابراین: +ba= (ax+b) lim مثال 1: Lim 3=3 مثال 2: Lim 7x+2=16 حد توابع f(x)= sin x و g(x)= cos x وقتی که تابع f را به صورت زیر در نظر می گیریم.

Y 1 X 0 1- با توجه به جدول و نمودار ملاحظه میشود، مقادیر f(x) به طور دلخواه به عدد نزدیک میشوند به شرطی که x به اندازه کافی به نزدیک شود.

قضیه 4: برای هر عدد حقیقی داریم: lim sin x= sin قضیه: اگر g , f دو تابع باشند و lim g(x)= M , lim f(x)= L (M,L دو عدد حقیقی اند) آنگاه: 1) lim f(x) g(x)= L.M 2) مثال 1: اگر lim g(x)= 7 , lim f(x)=4 1) lim f(x)g(x)=4*7=28 2) lim 9f(x)= lim 9 lim f(x)= 9*4=36 3) مثال 2: حد توابع g(x)= cot (x) , f(x)=tan (x) را وقتی حساب می کنیم: نتیجه: مثال 3: Lim(sin+2tan(x)) = lim sin +2 lim tan (x) توجه: با استفاده از قضیه حد تفاضل می توان قضیه یکتایی حد را توجیه کرد.

فرض کنیم تابع f وقتی دارای دو حد متفاوت L2, L1 باشد در آن صورت می توان نوشت: L1-L2= lim f(x)- lim f(x)= lim [f(x)-f(x)]= lim از طرفی حد تابع ثابت g(x)= وقتی که مساوی صفر است پس = lim در نتیجه = L1-L2 و یا L1=L2 یعنی اگر حد تابع موجود باشد منحصر به فرد است.

مثال 4: حد زیر را حساب می کنیم.

Y 2 1 0 نمودار حل: محاسبه این حد سر راست نیست زیرا = lim (x-1) ( حد مخرج کسر صفر است) و قضیه حد خارج قسمت را نمی توان بر کسر اعمال کرد، اما با تجزیه صورت کسر داریم تابع به ازای همواره بین h (x)=x , g(x)=-x قرار دارد و = lim g(x)= lim h(x) بنابراین طبق قضیه فشردگی داریم: قضیه: به ازای هر x (x بر حسب رادیان است) که نا مساوی های برقرار است.

قضیه: « x بر حسب رادیان است» نتیجه: اگر x بر حسب رادیان باشد آنگاه: 1) 2) قضیه: اگر lim g(x)=M , lim f(x)=+ (M عدد ثابتی است) آنگاه: الف) M> lim f(x)* g(x)=- (2 lim [f(x)+g(x)]=- (1 lim f(x)*g(x)= + (2 lim [f(x)+g(x)]= - (1 تعریف: خط x=a را مجانب قائم نمودار تابع f گویند اگر حداقل یکی از حالات زیر برقرار شو: (الف) lim f(x)= + (ب) lim f(x)=- (ج) lim f(x)=+ (د) lim f(x)=- a a مثال: مجانب قائم تابع ب خط x=1 است زیرا و نکته اگر lim f(x)=+ (و یا lim f(x)=-) و lim g(x)= آنگاه نمی توان lim f(x)g(x) را بلافاصله تعیین کرد در این صورت به وسیله اعمال جبری f(x)g(x) را به یک عبارت مانند h(x) تبدیل نموده که lim h(x) همان lim f(x)g(x) است.

مثال: تبصره مهم) اگر در توابع کسری گویا، حالت مبهم پیش آید می توانیم از روش های ساده زیر استفاده نموده و حد توابع را بدست آوریم: الف) اگر درجه صورت از درجه مخرج بزرگتر باشد و حد تابع برابر است با و اگر در آنصورت اگر اختلاف درجه صورت و درجه مخرج، عددی زوج باشد حد تابع برابر خواهد بود با و اگر این اختلاف، عددی فرد باشد حد تابع برابر خواهد بود با - مثال1) حل) چون درجه صورت (5) بزرگتر از درجه مخرج (3) میباشد حد تابع برابر است با مثال 2) حل) چون درجه صورت (4) بزرگتر از درجه مخرج (3) میباشد و از آنجائی که اختلاف درجه صورت و مخرج (1=3-4) عددی فرد است حد تابع برابر است با - مثال3) چون درجه صورت (4) بزرگتر از مخرج (2) میباشد و از آنجائی که اختلاف درجه صورت و مخرج (2=2-4) عددی زوج است حد تابع برابر است با .

ب) اگر درجه صورت برابر با درجه مخرج باشد و حد تابع برابر است با نسبت ضریب بزرگترین درجه صورت به ضریب بزرگترین درجه مخرج یا به عبارتی ضریب جمله ای که بزرگترین درجه را در صورت دارا است به ضریب جمله ای که بزرگترین درجه را در مخرج دارا میباشد.

مثال 4) حل) چون درجه صورت (4) برابر با درجه مخرج (4) است حد تابع برابر است با ضریب بزرگترین درجه صورت (5) تقسیم بر ضریب بزرگترین درجه مخرج (3) یعنی .

ج) اگر درجه صورت، کوچکتر از درجه مخرج باشد، حد تابع برابر با صفر است.

مثال5) حل) چون درجه صورت (3) کوچکتر از درجه مخرج (5) میباشد حد تابع برابر صفر است.

پیوستگی اگر منحنی تابع f(x) به صورت زیر باشد.

این تابع در نقطه گسسته است، ولی در سایر نقاط، پیوسته میباشد اگر دقت شود، در ترسیم شکل این تابع، هنگامی که x به سمت صفر میل میکند، حد چپ و راست تابع مساوی نبوده و در نتیجه در شاخه منحنی از هم جدا است، ولی خط y=-x+2 در جمیع نقاط آن پیوسته است طوریکه در شکل روبرو نشان داده شده است.

Y x y y=-x+3 2 X 2 بطور کلی تابع f(x) را در نقطه x=a پیوسته می نامیم به شرطی که: 1) تابع در نقطه x=a تعریف شده باشد یا ( یا تابع رد این نقطه، معین باشد) یعنی t(a) h 2) تابع در نقطه x=a حد داشته باشد یعنی : lim f(x)=k 3) حد تابع وقتی x=a برابر با مقدار تابع در نقطه x=a یعنی f(a)= lim f(x)=k در بررسی پیوستگی یک تابع، به نکات زیر توجه کنید: الف) اگر تابع در نقطه x=a پیوسته نباشد، ولی مقدار تابع (f(a)) با حد چپ یا حد راست برابر باشد، وییم این تابع در نقطه x=a پیوستگی چپ یا پیوستگی راست دارد، یعنی: تابع، پیوستگی چپ دارد lim f(x)=f(a) تابع، پیوستگی راست دارد lim f(x)=f(a) ب) تابع ثابت در کلیه نقاط و فواصل، پیوسته است.

تابع کثیر الجمله به ازای مقادیر مختلف x پیوسته است.

تابع کسری به ازای ریشه های مخرج، پیوسته نیست ولی در بقیه مقادیر، پیوسته میباشد (ریشه های مخرج) =R- فاصله پیوستگی) تابع رادیکالی با فرجه زوج در مقادیری که به ازای آنها، زیر رادیکال بزرگتر یا مساوی صفر میشود پیوسته است و در مقادیری که به ازای آنها، زیر رادیکال کوچکتر از صفر میشود پیوسته نیست و همچنین تابع رادیکالی با فرجه فرد، همیشه به ازای تمام مقادیر، پیوسته است.

ج) تابع جز صحیح (براکت) در نقاط صحیح (...، 2، 1، 0، 1-، 2-، ...) Z= حد ندارد و پیوسته هم نیست ولی در نقاط غیر صحیح (مثل ) حد دارد و پیوسته است.

مثال1) آیا تابع زیر در نقطه a=1 پیوسته است؟

حل) F(a)=r(1)=2 مقدار تابع در x=1 (1 حد تابع در x=1 (2 بنابراین تابع f(x) در نقطه x=1 پیوسته نیست زیرا شرط برابر مقدار تابع و حد تابع در نقطه x=1 برقرار نیست.

مثال2) پیوستگی تابع f(x) را در نقطه بررسی نمایید.

حل) : مقدار تابع (1 حد تابع (2 حد تابع = مقدار تابع (3 بنابراین تابع f(x) در نقطه پیوسته است.

مثال3) پیوستگی تابع f(x) را در نقاط x= 3/5 , x=2 بررسی می نمائید.

([] علامت جز صحیح است.) حل) F(x)- [x] , x=2 F(a)= f(2)=|2|=2 : مقدار تابع (1 حد تابع (2 چون تابع f(x) در نقطه x=2 حد ندارد بنابراین در این نقطه، پیوسته نمیباشد.

F(x)=[x] , x=3/5 F(a)=f(3/5)= [3/5]=3 : مقدار تابع (1 حد تابع (2 F(3/5)=lim f(x)=3 حد تابع= مقدار تابع (3 بنابراین تابع f(x) در نقطه x=3/5 پیوسته است.

مثال4) فاصله پیوستگی توابع زیر را تعیین کنید.

(الف حل) می دانیم تابع کسری به ازای ریشه های مخرج، پیوسته نیست ولی در بقیه مقادیر، پیوسته است.

پس داریم: =R-{1} فاصله پیوستگی x-1=0=x=1= (ب تابع رادیکالی با فرجه زوج در مقادیری که به ازای آنها، زیر رادیکال بزرگتر یا مساوی صفر میشود پیوسته است.

فاصله پیوستگی (ج تابع رادیکالی با فرجه فرد به ازای تمامی مقادیر، پیوسته است یعنی: فاصله پیوستگی پیوستگی تابع در یک فاصله تابع f(x) را در فاصله [a,b] پیوسته می نامیم هر گاه f(x) در تمام نقاط متعلق به این فاصله، پیوسته باشد.

مثال1) پیوستگی تابع را در فاصله [0,5] بررسی نمایید.

حل) تابع کسری، به ازای ریشه های مخرج، پیوسته نیست، پس: R-{-3} = فاصله پیوستگی و چون 3- در فاصله [0,5] نیست، تابع فوق در این فاصله، پیوسته می باشد و فقط در نقطه x=-3 پیوسته نیست.

مثال2) پیوستگی تابع را در فاصله [2,6] بررسی نمایید.

حل) تابع کسری به ازای ریشه های مخرج، پیوسته نیست، پس: =R-{-3,+3} فاصله پیوستگی و چون 3+ در فاصله [2,6] وجود دارد بنابراین تابع فوق در این فاصله نمی تواند پیوسته باشد.

خاصیت مهم توابع پیوسته یکی از خاصیت های مهم توابع پیوسته، این است که اگر دو تابع g(x) , f(x) در نقطه x=a پیوسته باشند در آن صورت توابع f(g)+g(x) و f(x)g(x) نیز در نقطه x=a پیوسته میباشند و تابع هم به شرط آنکهباشد در نقطه x=a پیوسته میباشد.

گسستگی اگر تابع f(x) در نقطه x=a، یکی از 3 شرط پیوستگی را دارا نباشد در این نقطه، منفصل یا گسسته یا نا پیوسته است.

مثال 1) پیوستگی یا گسستگی تابع را در نقطه بررسی کنید.

حل) : مقدار تابع در Lim f(x)=1 : حد تابع وقتی چون مقدار تابع در با حد تابع وقتی برابر نیست یعنی یکی از 3 شرط پیوستگی را دارا نمیباشد در این نقطه، تابع گسسته است.

مثال2) نقاط گسستگی تابع زیر را تعیین کنید.

می دانیم تابع کسری به ازای ریشه های مخرج گسسته است (پیوسته نیست) پس: =R-{-2,1} فاصله پیوستگی بنابراین نقاط گسستگی تابع فوق عبارت خواهد بود از: {-2,1} و {-2,1} = نقاط گسستگی قضیه اولر اگر در محاسبه حد توابع، عبارت مبهمی به شکل بدست آمد، طبق رابطه زیر عمل می کنیم: که e عبارت است از عدد اولر و مقدار تقریبی آن برابر 71828/2 میباشد.

رابطه فوق بدین معنی است که حد عبارت وقتی n به سمت بی نهایت میل میکند که برابر e میباشد.

در اثبات حد فوق، فرض شده که n با مقادیر صحیح به سمت بی نهایت میل میکند ولی می توان گفت که به ازای هر مقدار x، همواره داریم: اگر x به سمت میل کند، باز خواهیم داشت: زیرا می توان نوشت x=- (1+1) ، پس داریم: مثال 1) حد تابع وقتی بدست آورید.

حل) (مبهم) مطابق با داریم: 1) ابتدا مقدار x را بر حسب n بدست می آوریم: 2) سپس مقدار x را در تابع جایگذاری می کنیم: 3) در نهایت، حد تابع به دست آمده را محاسبه می کنیم: مثال 2) حد تابع را وقتی بدست آورید.

حل) برای ایجاد رابطه ابتدا صورت تابع را بر مخرج آن تقسیم می کنیم: بنابراین : قضیه: اگر تابع f در و تابع g در پیوسته باشد آنگاه تابع gof در پیوسته است.

قضیه: هر گاه توابع g,f در =x پیوسته باشد آنگاه: 1) f+g در =x پیوسته است.

2) f-g در =x پیوسته است.

3) f.g در =x پیوسته است.

4) در =x پیوسته است، مشروط بر اینکه موارد فوق با توجه به اینکه ()f = lim f(x) و ()lim g(x)= g و قضایای حدود به سادگی قابل اثبات هستند.

قضیه: یک تابع چند جمله ای در هر نقطه به طول پیوسته است.

2/11/101/10001/1999/199/19/12/2x2/41/401/40001/4999/395/39/38/3y XF(x)