فیثاغورث در حدود سال 580 پیش از میلاد، در جزیره ساموس متولد شد.
اقامت در مصر اثر فوق العاده ای در پیشرفت فیثاغورث داشت.
فیثاغورث در نخستین دوره شکوفایی خود در کروتون (مستعمره یونانی در جنوب ایتالیا) زندگی می کرد.
او در همین جا مکتب فیثاغورثی را بنیان گذاشت که در پیشرفت ریاضیات یونانی اثر فوقالعاده داشت.
فیثاغورث اساس ساختمانی جهان هستی را عدد (و به تعبیر امروز عدد طبیعی) می دانست.
علاقه فیثاغورث و مکتب او به خاصیت عددها را باید سرچشمه بوجود آمدن رشته ای از ریاضیات دانست که بعدها نام نظریه عددها را به خود گرفت.
یادگیری از این موضوع در نام جدول فیثاغورث باقی مانده است.
فیثاغورث درباره رابطه های عددی که در ساختمانهای هندسی وجود دارد ، تحقیق می کرد.
او مثلث معروف به مثلث مصری را ، که ضعلهای آن با عددهای 5،4،3 بیان می شود ، می شناخت.
مصریها می دانستند که چنین مثلثی قائم الزاویه است و از آن برای تعیین زاویه های قائمه در تجدید تقسیم بندی زمینهای اطراف نیل ، که هر سال بر اثر طغیان آب شسته می شد، استفاده می کردند.
فیثاغورث رابطه بین ضلعهای مثلث مصری را پیدا کرد که با رابطه بیان می شود.
فیثاغورث نشان داد که این رابطه برای هر مثلث قائم الزاویه با ضلعهای c,b,a به صورت درست است و رابطه هایی برای این ضلعها پیدا کرد که به زبان امروزی چنین اند:
امروز مثلثهای قائم الزاویه ای که ضلعهای آنها با عددهای طبیعی بیان شوند ، مثلثهای فیثاغورثی نامیده می شوند.
این قضیه را متعلق به فیثاغورث می دانند که در هر مثلث قائم الزاویه ، مربعی که روی وتر ساخته شود برابر است با مجموع مربعهایی که روی دو ضلع دیگر ساخته شده است.
این قضیه را هم قضیه فیثاغورث می نامند.
ابتدا گمان می کردند که ضلعهای هر مثلث قائم الزاویه را می توان با عددهای طبیعی بیان کرد ، ولی بررسیهای ریاضیدانهای نمتب فیثاغورثی نشان داده است که این تصور درست نیست.
مثلاً مثلث قائم الزاویه متساویالساقین یک مثلث فیثاغورثی نیست، زیرا نمی توان عددهایی پیدا کرد که در رابطه زیر صدق کنند:
مثلاً مثلث قائم الزاویه متساویالساقین یک مثلث فیثاغورثی نیست، زیرا نمی توان عددهایی پیدا کرد که در رابطه زیر صدق کنند: این کشف برای فیثاغورثیها کصیبت بار بود ، زیرا این اعتقاد آنها را که همه پدیده ها با عددهای طبیعی قابل بیان هستند ، دچار شکست کرد.
کشف این مطلب که دنیای عددها با دنیای ساختمانهای هندسی متناقض است ، چنان اثر بزرگی داشت که دانشمندان مکتب فیثاغورثی آنرا به عنوان رازی مخفی کردند و بررسیهای هندسی را بطور کلی از حساب جدا کردند.
این مطلب بطور جدی مانع پیشرفت حساب در یونان شد ، در حالی که هندسه را بنحو سریعی سریعی تکامل داد.
پیشرفت رشته های مختلف علوم دقیقه در یونان باستان تا حدی عجیب است.
هندسه ، که تکامل آنرا مدیون نامهای بزرگ اقلیدس ، ارشمیدس و آپولونیوس (سده های چهارم ، سوم و دوم پیش از میلاد) هستیم ، فوق العاده پیشرفت کرد.
سپس در سده دوم میلادی و بخاطر موفقیتهایی که بطلمیوس بدست آورد ، نجوم به حد شکفتگی رسید.
بالاخره در سده سوم میلادی دیوفانت اساسی حساب را منظم کرد.
افتخار تفکر ریاضی فیثاغورثی مشهورترین قضیه فیثاغورث اینست: مربعی که روی وتر مثلث قائم الزاویه ساخته شود برابر است با مجموع مربعهایی که روی ضلعهای مجاور به زاویه قائمه ساخته می شود.
عکس این قضیه هم صحیح است: اگر ضلعهای c,b,a از مثلثی در شرط فیثاغورثی صدق کنند ، در اینصورت مثلث مفروض قائوالزاویه است و زاویه قائمه آن روبروی ضلع c است.
بخصوص مثلثی جالب است که سه ضلع آن با عددهای صحیح بیان شود وشرط فیثاغورثی در مورد آنها برقرار باشد.
مثلاً مثلث با ضلعهای 5.4.3 شرط فیثاغورثی را قبول دارد: و این ساده ترین مثلث فیثاغورثی است.
در اینجا چند مثلث فیثاغورثی آورده ایم: به سادگی دیده دیده می شود که همه این مثلثها در شرط فیثاغورثی صدق می کنند و بنابراین قائم الزاویه اند.
در مصر قدیم و سایر کشورهای شرق آسیا از مثلثی که ضلعهای آن 4.3 و5 باشد ، برای ساختن زاویه قائمه (یعنی برای رسم دو خط راست عمود بر هم ) در عمل استفاده می کرده اند.
تصادفی نیست که باستان شناسان چنین نسبتهایی را در اندازه های سنگهای تراشیده شده هرم خفرون پیدا کرده اند.
این حقیقت بسیار جالب است که اتاق فرعون در هرم مشهور خئوپس اندازه هایی دارد مه کاملاً به عددهای 5.4.3 مربوط اند.
اگر قطر تمام اتاق را 5 ولاحد بگیریم ، بزرگترین دیوار آن 4 و قطر کوچکترین دیوار آن مساوی 3 واحد است.
در دوران باستان مثلثی را که ضلعهای آن 5.4.3 باشد ، شکلی اسرار آمیز و جادویی بهحساب می آورند (شکل 1) .
چنین مثلثی خاصیتهای جالب دیگری هم دارد.
محیط آن باعداد 12 بیان می شود و مساحت آن برابر است با 6 ، یعنی عددی که درست بعد از سه عدد ضلعها قرار گرفته است ؛ بالاتر از همه که به قول پلوتارک زیباترین وضع در بین مثلثهاست.
بدون تردید هنوز هم نجارهای روستاها موقع ساختن خانه ها و یا انبارهای چوبی ، برای اینکه زاویه قائمه بدست آورند.
از مثلث به 5.4.3 استفاده می کنند ؛ و این درست همان شیوه ای است که در هزاران سال قبل برای ساختمان معبدهای بزرگ در مصر ، بابل ، چین و احتمالاً در مکزیک به کار می رفته است.
بنابراین فیثاغورث این خاصیت مثلث قائم الزاویه را کشف نکرد ، بلکه او برای نخستین بار این خاصیت را تامیم دهد ، آنرا ثابت کند و از جنبه عملی به جنبه علمی آن برسد.
5 c =4 b =3a =13 c =12 b =5 a =17 c =8 b =15 a =25 c =24 b =7 a =29 c =20 b =21 a =41 c =40 b =9 a =