دانلود مقاله ریاضی فیزیک

نگرش کلی: فیزیک علمی است که قوانین حاکم بر جهان طبیعت را بصورت مدون بیان می کند.

بنابراین برای ارائه این قوانین بصورت معادلات و روابط ریاضی ، لازم است که یک فیزیکدان باید با اصول و قوانین اساسی ریاضی آشنا باشد.

التبه در بعضی از علوم دیگر مانند شیمی نیز این ضرورت احساس می شود، ولی اغراق آمیز نیست بگوییم که ریاضیات بعنوان الفبای فیزیک می باشد.

این ضرورت سبب شده است که درسی تحت عنوان روشهای ریاضی در فیزیک ایجاد شود.

ضرورت با هم بودن ریاضی و فیزیک: اگر تاریخچه پیدایش علوم را مورد توجه قرار دهیم.

ملاحظه می گردد که فیزیک در ریاضی معمولا پا به پای هم گسترش و رشد یافته اند.

و اکثر فیزیکدانان قدیمی ، ریاضیدان نیز بوده اند.

بعنوان مثال به اسحاق نیوتن ، گالیله و دیگران اشاره کرد.

علاوه بر این هر مبحث فیزیک را مد نظر قرار دهیم، ملاحظه می کنیم که به نوعی دریایی از ریاضیات در آن وجود دارد.

به فرض اگر مبحث سینماتیک حرکت را مورد توجه قرار دهیم، خواهیم دید که اگر بخواهیم سرعت و یا شتاب را تعریف کنیم، بایستی با قوانین مشتقگیری آشنا باشیم تا بتوانیم بگوییم که مشتق مکان در هر لحظه برابر سرعت لحظه ای و مشتق سرعت در هر لحظه ، شتاب لحظه ای خواهد بود.

اولین قدم در ریاضی فیزیک: اولین گام در مطالعه ریاضی فیزیک ، آشنایی با آنالیز برداری است.

چون مفاهیم برداری نقش اساسی را در فیزیک بازی می کند.

یعنی زمانی که یک کمیت فیزیکی را تعریف می کنیم، ابتدا باید به آنالیز برداری مراجعه کرده و تکلیف این کمیت را از لحاظ برداری ، اسکالر بودن مشخض کنیم، تا بعد بتوانیم خواص و ویژگیهای این کمیت را بیان کنیم .

آینده ریاضی فیزیک: امروزه با پیشرفت علوم کامپیوتری که توانایی انجام محاسبات بسیار پیچیده ریاضی را در زمانهای بسیار کوتاه دارند، بیشتر فعالیتها در راستای استفاده هر چه بیشتر از رایانه برای حل معادلات ریاضی ، محاسبات طولانی ریاضی ، قرار دارد.

به عبارت دیگر پیشرفت علوم ریاضی بویژه ریاضی فیزیک با پیشرفت علوم کامپیوتری همسو شده است کمیت فیزیکی دید کلی هر چیز که قابل افزایش و کاهش باشد و نیز بتوان تساوی میان دو مقدار از آن را به دقت بیان کرد کمیت فیزیکی است.

در واقع سنگ بنای علم فیزیک کمیت فیزیکی است.

و ما برای بیان قوانین فیزیک از آنها استفاده می‌کنیم، مثل طول ، جرم ، نیرو و حجم ، یک کمیت فیزیکی مانند جرم را وقتی می‌توان تعریف کرد که برای اندازه‌ گیری آن واحدی مانند کیلوگرم در نظر گرفته شود.

تعداد کمیتهای فیزیکی آنقدر زیاد است که مرتب کردن آنها مساله مشکلی است و این کمیتها مستقل از هم نیستند.

از میان تمام کمیتهای فیزیکی ممکن است چند کمیت را مشخص کنیم و آنها را کمیت اصلی بنامیم و بقیه کمیتها را از این کمیتهای اصلی بدست آوریم و برای هر یک استانداردی در نظر بگیریم، مثلا اگر طول را کمیت اصلی انتخاب کنیم، قد را به عنوان استاندارد آن در نظر می‌گیریم.

یکای (واحد) اندازه گیری یکی از جنبه‌های مشترک بین همه اندازه گیری وجود یک یکای اندازه گیری است.

مقدار کمیت مورد نظر چند برابر کمیتی است که از همان جنس که به عنوان مقیاس انتخاب شده ، این مقیاس را یکا (یا واحد) آن کمیت می‌نامند.

دانشمندان برای آنکه رقمهای حاصل از اندازه گیریهای مختلف یک کمیت باهم مقایسه پذیر باشند، در نشستهای بین المللی توافق کرده‌اند که برای هر کمیت یکای معینی تعریف کنند.

یکای هر کمیت باید به گونه‌ای انتخاب شود که در شرایط فیزیکی تعیین شده تغییر نکند و در دسترس باشد، مجموعه یکاهای مورد توافق بین المللی را به اختصار یکای SI می‌نامند.

کمیت اصلی و فرعی کمیت اصلی: آن دسته از کمیتهایی را که یکاهای آنها بطور مستقل تعریف شده‌اند کمیت اصلی ، یکاهای آنها را یکاهای اصلی می‌نامند.

کمیت فرعی: کمیتهای از قبیل مساحت ، حجم ، کمیتی است که به یک یا چند کمیت اصلی وابسته است.

کمیت اسکالر و برداری کمیت برداری: کمیت برداری کمیتی است که برای بیان آن علاوه بر انداره باید راستا ، جهت و نقطه اثر آن نیز در دست باشد، مانند: نیرو ، شتاب ، شدت میدان الکتریکی ، اندازه حرکت ، گشتاور نیرو ، تغییر مکان و ...

.

کمیت اسکالر: به کمیتی گفته می‌شود که با یک عدد و یک یکا بطور کامل مشخص می‌شود و از اینرو فقط دارای بزرگی هستند.

کمیتهای اسکالر ، کمیتهای نرده‌ای نیز نامیده می‌شود.

سایر کمیتهای نرده‌ای طول ، زمان ، چگالی ، انرژی ، دما ، پتانسیل و ...

نحوه نمایش کمیت برداری و اسکالر کمیت برداری: کمیتهای برداری را با پاره خط جهتدار (پیکان) نمایش می‌دهند.

پیکان را هم جهت با بردار و طول آنرا متناسب با بزرگی بردار در نظر می‌گیرند () مانند d ، بزرگی یک بردار را توسط یک خط قائم که در دو طرف نماد آن بردار می‌گذارند مانند ׀ d ׀ و یا با نماد بدون پیکان مشخص می‌کنند d.

> کمیت اسکالر: کمیت اسکالر عدد است و نیازی به نحوه نمایش ندارد.

جمع برداری برای یافتن برآیند دو بردار و می‌توانیم از یک نقطه دو بردار به ترتیب برابر بردارهای و رسم کنیم، سپس متوازی الاضلاع را که این دو بردار ، دو ضلع مجاور آن را تشکیل می‌دهد کامل کنیم، بردار برآیند قطری از متوازی الاضلاع است که نقطه شروع دو بردار را به رأس روبرو وصل می‌کند.

این قاعده متوازی الاضلاع برای جمع بردارها است.

تفریق بردای برای بدست آوردن تفریق دو بردار نخست دو بردار و را از یک نقطه رسم می‌کنیم.

برداری که ابتدای آن بر انتهای بردار و انتهای آن بر انتهای بردار منطبق باشد بردار حاصله است.

ابعاد کمیت منظور از ابعاد یک کمیت فرعی ، رابطه آن با کمیت اصلی تشکیل دهنده آن است.

در واقع می‌توان گفت که منظور از ابعاد یک کمیت معرفی آن کمیت از نظر ماهیت طبیعی آن است.

برای این منظور در مکانیک ابعاد سه کمیت اصلی طول ، جرم و زمان را به ترتیب با M ، L و T نشان می‌دهند جبر برداری مجموع اعمال ریاضی شامل جمع ، ضرب ، مشتق ، انتگرال و...

که بر روی بردارها انجام می‌شود، بر اساس قواعد و اصول خاصی قابل اجراست.

مجموعه این قوانین در مبحثی تحت عنوان جبر برداری مورد بحث قرار می‌گیرند اطلاعات اولیه بحث حرکت در دو یا سه بعد با وارد کردن مفهوم بردار بسیار ساده می‌شود.

یک بردار از نظر هندسی به صورت کمیتی فیزیکی تعریف می‌شود که بوسیله اندازه و جهت در فضا مشخص می‌شود.

به عنوان مثال می‌توان به سرعت و نیرو اشاره کرد که هر دو کمیتی برداری هستند.

هر بردار را با یک پیکان که طول و جهت آن نمایشگر اندازه و جهت بردار است، نمایش می‌دهند.

جمع دو یا چند بردار را می‌توان بر اساس راحتی کار با استفاده از روشهای متوازی الضلاع یا روش تصاویر که در آن هر بردار را به مولفه‌هایش در امتداد محورهای مختصات تجزیه می‌کنند، انجام داد.

ضرب بردارها ضرب بردار در حالت کلی به دو صورت ضرب نقطه‌ای یا عددی و ضرب برداری انجام می‌شود.

در ضرب عددی یا اسکالر یا نقطه‌ای که با نماد A.B نمایش داده می‌شود، حاصضرب برابر با است با حاصضرب اندازه یک بردار در اندازه تصویر بردار دیگر بر روی آن.

طبیعی است که اگر دو بردار بر هم عمود باشند، حاصضرب آنها صفر خواهد بود.

اما در ضرب برداری که بصورت A×B نمایش داده می‌شود، نتیجه حاصضرب ، برداری است که جهت آن با استفاده از قاعده دست راست تعیین می‌شود و اندازه آن با حاصضرب اندازه دو بردار در سینوس زاویه بین آنها برابراست.

ضرب برداری علاوه بر دو حالت فوق می‌تواند بصورت مختلط نیز باشد.

به عنوان مثل اگر C , B , A سه بردار دلخواه باشند در این صورت می‌توان ضربهایی به شکل A.B×C یا A×B×C نیز تشکیل داد.

اما همواره باید توجه داشته باشیم که نتیجه حاصلضرب اسکالر یا عددی یک عدد است در صورتی که نتیجه حاصلضرب برداری یک بردار است.

قاعده دست راست قاعده دست راست که در بیشتر مسائل فیزیک که با بردارها سر و کار دارند مطرح است، به این صورت بیان می‌شود.

فرض کنید A و B دو بردار دلخواهی هستند که به صورت برداری در یکدیگر ضرب می‌شود.

برای تعیین جهت بردار حاصضرب کافی است چهار انگشت دست راست را در راستای بردار اول قرار داده و بوسیله چهار انگشت خود این بردار را بطرف بردار دوم بچرخانیم، در این صورت جهت انگشت شست دست راست در راستای بردار منتجه خواهد بود مشتق گیری برداری برای مشتق گیری برداری قواعد خاصی وجود دارد که به صورت زیر اشاره می‌شود.

مشتق جمع دو یا چند بردار با مجموع مشتقات تک تک آنها برابر است.

مشتق حاصضرب دو بردار (خواه اسکالر خواه برداری) برابر است با مجموع دو جمله ، که جمله اول شامل حاصضرب مشتق بردار اول در خود بردار دوم و جمله دوم برابر با حاصضرب خود بردار اول در مشتق بردار دوم است.

بدیهی است که مشتق حاصلضرب چندین بردار نیز به همین صورت تعریف می‌شود.

یعنی به تعداد بردارهایی که در هم ضرب می‌شوند، جمله وجود دارد و در هر جمله مشتق یک بردار وجود دارد.

علاوه بر این مشتقات مراتب بالاتر (مشتق دوم و بیشتر) نیز به همین صورت انجام می‌شود.

انتگرال گیری برداری در حالت کلی سه بعدی دو نوع تابع می‌توان در نظر گرفت.

توابع نقطه‌ای اسکالر و توابع نقطه‌ای برداری.

به عنوان مثال تابع انرژی پتانسیل یک تابع نقطه‌ای اسکالر است، در صورتی که شدت میدان الکتریکی یک تابع نقطه‌ای برداری است.

همچنین انتگرال گیری نیز می‌تواند به سه صورت خطی ، سطحی و حجمی صورت گیرد.

در حالت اول انتگرال گیری بر روی یک منحنی صورت می‌گیرد.

اما در حالت دوم انتگرال گیری روی یک سطح و سرانجام در حالت چهارم روی یک حجم صورت می‌گیرد.

نکته قابل توجه در اینجا این است که انتگرال گیری با توجه به تقارن موجود و نیز نوع تابع مسئله در سیستمهای مختصاتی مختلف انجام داد.

به عنوان مثال اگر مسئله مورد نظر ما دارای تقارن کروی باشد بهتر است کلیه انتگرالهایی که در مسئله مورد نیاز است در سیستم مختصات کروی انجام دهیم.

آنالیز برداری اطلاعات اولیه بیشتر کمیات فیزیکی که در فیزیک و علوم مهندسی با آنها مواجه می‌شویم، به دو صورت اسکالر (نرده‌ای) و برداری هستند.

یک کمیت اسکالر تنها با بیان بزرگی و همراه با یکای خود ، اگر داشته باشد، کاملا مشخص می‌شود.

به عنوان مثال جرم یک کمیت اسکالر است که با مقدار و یکایش که کیلوگرم است، کاملا مشخص می‌گردد.

دسته دیگری از کمیات ، کمیات برداری هستند که علاوه بر مقدار و یکا دارای جهت نیز هستند.

بیشتر کمیات فیزیکی که در فیزیک و علوم مهندسی با آنها مواجه می‌شویم، به دو صورت اسکالر (نرده‌ای) و برداری هستند.

به عنوان سرعت و شتاب نمونه‌هایی از کمیتهای برداری هستند.

کمیتهای برداری از قواعد جبر برداری پیروی می‌کنند و علاوه بر آن هندسه ، دیفرانسیل و انتگرال که در نمایش ریاضی کمیتهای فیزیکی ، نقش بسیار مهمی‌دارد، نیز ضروری است.

کلید این مباحث در مطالبی تحت عنوان آنالیز برداری که به مفهوم تحلیل و بررسی مسائل مربوط به بردارهاست، مورد بحث قرار می‌گیرد.

نمایش کمیاب برداری گفتیم که هر کمیت برداری علاوه بر مقدا و یکا با جهت نیز مشخص می‌شود، از نظر ترسیمی ، یک بردار با یک پاره خط و یک پیکان در یک انتهای آن نمایش داده می‌شود.

طول پاره خط تقریبا متناسب با بزرگی کمیت برداری است، پیکان جهت کمیت برداری را نشان می‌دهد.

به عنوان مثال اگر A یک کمیت برداری باشد، در این صورت نمایش داده می‌شود.

تساوی بردارها دو بردار را در صورتی مساوی می‌گویند که بزرگی و جهت آن دو با هم برابر باشند.

به عبارت دیگر برای تساوی دو بردار علاوه بر اینکه باید اندازه یا بزرگی آنها با هم برابر باشد، باید هم جهت نیز باشد.

ضرب بردارها بردارها معمولا به دو صورت می‌توانند در هم ضرب شوند.

این دو به نامهای ضرب داخلی یا عددی و ضرب برداری معروف هستند.

ضرب عددی ضرب عددی دو بردار B و A با نماد B.A نمایش داده می‌شود و حاصل آن برابر است با حلصضرب بزرگی دو بردار در کسینوس زاویه بین آنها از آنجا که90 Cos برابر صفر است، لذا می‌توان گفت که اگر حاصضرب عددی دو بردار برابر صفر باشد در این صورت این دو بردار بر هم عمودند.

ضرب برداری ضرب برداری دو بردار دلخواه B,A بصورت A×B نشان داده می‌شود و مقدار آن برابر است با حاصضرب بزرگی دو بردار در سینوس زاویه بین آنها.

همچنین می‌دانیم که سینوس صفر یا 180 درجه صفر است، بنابراین دو بردار موازی باشند، در این صورت حاصل ضرب برداری آنها صفر خواهد شد.

جمع و تفریق برداری برای جمع دو بردار به روش تحلیل قواعد مختلفی وجود دارد که در اینجا به چند نمونه اشاره می‌شود.

روش متوازی الاضلاع: فرض کنید بخواهیم دو بردار دلخواه را با هم جمع کنیم.

برای اینکار مبدا مختصات را بر ابتدای یکی از این بردارها منطبق فرض می‌کنیم، حال از ابتدای همین برداری ، بردار دیگری به موازات بردار دوم و درست برابر با اندازه آن (بزرگی اش با آن برابراست رسم می‌کنیم.

حال از انتهای بردار اول بردار دیگری دقیقا موازی بردار اول و به اندازه آن رسم می‌کنیم.

به این ترتیب یک متوازی الاضلاع حاصل می‌شود.

قطری از متوازی الاضلاع که ابتدای آن بر ابتدای دو بردار اولیه منطبق است، بردار حاصل جمع بردار اولیه خواهد بود.

روش تجزیه: در این روش که بیشتر مورد استفاده قرار می‌گیرد، کار به این صورت است که یک سیستم مختصات با محورهای X,Y,Z در نظر می‌گیریم.

از ابتدای مختصات بردارهایی دقیقا در راستای بردارهای اولیه و درت به اندازه آنها رسم می‌کنیم.حال هر بردار در محورهای مختصات به مولفه‌هایش تجزیه می‌کنیم.

به این ترتیب سه معادله می‌توانیم بنویسیم.

هر معادله با مجموع مولفه‌ها در راستای یک محور با توجه به علامت آنها (که بسته به جهت مولفه تعیین می‌شود) نوشته می‌شود.

به این ترتیب هر سه مولفه بردار حاصل جمع حاصل می‌شود.

برای تعیین جهت بردار حاصل جمع باید از روش هندسی و روشهای مثلثاتی کرده و مقدار زاویه‌ای را که بردار حاصل جمع با محورها می‌سازد، تعیین کنیم.

حسن این روش در این است که علاوه بر دو بردار می‌توان حاصل جمع چندین بردار را براحتی تعیین کنیم.

تفریق دو بردار تفریق دو بردار را نیز می‌توان با استفاده از قاعده جمع برداری مشخص نمود.

به عنوان مثال اگر بخواهیم حاصل A-B را تعیین کنیم، بردار A را با بردار B - که برداری به اندازه B و در خلاف جهت آن است، جمع کنیم ماتریس در ریاضیات ماتریس عبارت است یک جدول مستطیلی از اعداد و یا به صورت ساخت یافته‌تر: ماتریس مجموعه‌ای از اشیای هم نوع است که به تعدادی گروه با اعضای یکسان تقسیم بندی شده است.

ماتریسها ریاضیات مناسبی برای ثبت و ذخیره داده‌هایی هستند که مقادیر آنها به دو کمیت بستگی دارد.

از این جهت چون در اکثر علوم با چنین داده‌هایی روبرو می‌شویم.

بنابراین کاربرد وسیع ماتریسها در اکثر شاخه‌های علوم مهندسی می‌شود ماتریس عبارت است از آرایشی (آرایه‌ای) مستطیل شکل از اعداد مختلط به طوری که عناصر این آرایه را درایه می‌نامیم و عنصر واقع در سطر ام و ستون ام را با نماد نشان می‌دهیم.

ماتریسی که دارای سطر و ستون باشد را ماتریس از مرتبه در می‌نامیم.( ) نکته هرگاه آنگاه ماتریس را مربع از مرتبه می‌نامیم.

یک ماتریس را بصورت نمایش می‌دهیم.

تاریخچه مطالعه روی انواع خاصی از ماتریسها مانند مربعهای جادویی و مربعهای لاتین ، به تاریخ قبل از میلاد نسبت داده شده است.

معرفی و تکامل نمایش ماتریسها به عنوان شاخه‌ای از جبر خطی در نتیجه مطلعه روی ضرایب سیستم معادلات خطی و الگوها و روشهای حل آنها بوجود آمد.

لایب نیتس به عنوان یکی از پایه گذاران علم حسابان در سال 1693، دترمینان ماتریسها را معرفی کرد.

در ادامه کرامر روش خود را برای حل دستگاه معادلات خطی بر اساس دترمینان ماتریس ضرایب دستگاه معرفی کرد.

این روش که به روش کرامر مرسوم است، بر اساس استفاده صریح از دترمینان ماتریس ضرایب معرفی گردیده است.

در مقابل اولین استفاده ضمنی از ماتریسها توسط لاگرانژ برای تعیین ماکزیمم و مینیمم توابع چند مقداری مورد استفاده قرار گرفت.

در ادامه گاوس روش حذفی خود را برای حل مسائل کمترین مربعات که کاربردهای بسیار وسیعی در علوم سماوی و ژئودوزی دارد را معرفی کرد.

روابط بین ماتریس‌ها تساوی دو ماتریس دو ماتریس و مساوی اند اگر و فقط اگر (هم مرتبه باشند) و جمع دو ماتریس اگر و آنگاه قرینه ماتریس اگر آنگاه قرینه را بصورت زیر تعریف می‌کنیم: ضرب اسکالر در ماتریس اگر و یک اسکالر باشد آنگاه در ضرب اسکالر یک عدد در یک ماتریس ضرب می‌شود.

در این نوع ضرب تمامی عناصر ماتریس در آن عدد ضرب می‌شوند به عنوان مثال: و نمایش ریاضی آن به صورت زیر می باشد: cA)ij = c(A)ij) ضرب ماتریس‌ها اگر و آنگاه ضرب دو ماتریس را با علامت نمایش داده و بصورت زیر تعریف خواهیم کرد: در این نوع هر دو ضرب شونده و ضرب کننده از نوع ماتریس می‌باشند.

بطور مشابه ضرب دو ماتریس نیز باید یک جنبه خوش تعریفی داشته باشد.

ضرب دو ماتریس داده شده A و B زمانی خوش تعریف است که تعداد ستونهای ماتریس ضرب کننده با تعداد سطرهای ماتریس ضرب شونده برابر باشند.

بر این ضرب دو ماتریس که شرایط قابل ضرب بودن را داشته باشند به صورت زیر بیان می‌شود: برای بدست آوردن عنصر روی سطر iام و ستون y ام ماتریس خاصل ضرب عناصر روی سطر iام ماتریس ضرب کننده و عناصر روی ستون j ام ماتریس ضرب شونده را در نظر گرفته و آنها در هم ضرب و جمع می کنیم.

به صورت ریاضی حاصلضرب دو ماتریس بصورت زیر نمایش داده می شود: A × B)ij = (A)i1(B)1j + (A)i2(B)2j + ...

+ (A)in(B)nj) بطور ساده‌تر می‌توان ماتریس ضرب کننده را به صورت مجموعه ای از بردارهای نظری و ماتریس ضرب شونده را به صورت مجموعه‌ای بردارهای ستونی در نظر گرفت.

انواع ماتریس ماتریس صفر ماتریسی که تمام درایه های آن صفر باشد را ماتریس صفر نامیده و ماتریس صفر از مرتبه را با نماد نمایش می‌دهیم و داریم ماتریس همانی ماتریس مربع از مرتبه را همانی گوییم هرگاه وبه ازای هر داشته باشیم ماتریس اسکالر اگر یک اسکالر و ماتریس همانی از مرتبه باشد آنگاه را ماتریس اسکالر می‌نامیم.

ماتریس وارون پذیر ماتریس مربع را وارون پذیر می‌نامیم هرگاه ماتریس مربع یافت شود به طوری که .دراین صورت را وارون می‌نامیم.

ماتریس قطری ماتریس مربعی را قطری نامیم هرگاه عناصر روی قطر اصلی همگی غیر صفر باشند و عناصر غیر از قطر اصلی صفر باشند.

چند خاصیت از ماتریس ها اگر سه ماتریس و دو اسکالر باشند آنگاه: اگر آنگاه اگر آنگاه اگر انگاه در حالت کلی ضرب ماتریس‌ها خاصیت جابجایی ندارد.(حتی اگر تعریف شده باشند و این در حالتی ممکن است که دو مربع هم مرتبه باشند.) فضای برداری یک فضای برداری (فضای خطی) متشکل است از: 1.میدان از اسکالرها 2.یک مجموعه از اشیا به نام بردار 3.یک عمل جمع برداری برروی به طوری که به ازای هر متعلق به آنگاه در وجود داشته باشد و الف.

ب.

ج.

(که در آن منحصر به فرد است.) د.

4.عمل ضرب موسوم به ضرب اسکالر به طوری که به ازای هر متعلق به و متعلق به عضوی از باشد وداشته باشیم: الف.

د.

در این صورت گوییم یک فضای برداری روی میدان است.

قضیه (1) فرض کنیم یک فضای برداری بر روی میدان باشد در این صورت: 1.

2.

3.اگر آنگاه یا 4.

5.

(که در آن منحصر به فرد است.) زیر فضا فرض کنیم یک فضای برداری بر روی میدان باشد در این صورت اگر همراه با دو عمل جمع برداری روی و ضرب اسکالر تشکیل فضای برداری دهد آنگاه گوییم زیرفضای برداری است.

لم برای اثبات زیر فضای برداری کافی است بخش های زیر ثابت شود: 1.بسته بودن نسبت به جمع برداری 2.وجود بردار صفر در 3.وجود قرینه هر بردار در 4.بسته بودن نسبت به ضرب اسکالر قضیه (2) یک زیر مجموعه غیرتهی از زیرفضاست اگر و فقط: قضیه (3) فرض کنیم یک فضای برداری بر روی میدان باشد دراین صورت اشتراک هر دسته دلخواه (نامتناهی) از زیرفضاهای زیرفضاست